河北省石家庄市2023届高三数学新高考考前模拟试卷

试卷更新日期：2023-02-20 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 1 < x < 1}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x \leq 0}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 2]$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $[0 ， 1)$ D、 $(0 ， 1]$

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2. 已知命题 $p$ ： $\forall x \in [0 ， + ∞)$ ， $l n (x^{2} + 1) \geq 0$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x \in (- \infty ， 0)$ ， $l n (x^{2} + 1) < 0$ B、 $\exists x \in [0 ， + \infty)$ ， $l n (x^{2} + 1) < 0$ C、 $\forall x \in (- \infty ， 0)$ ， $l n (x^{2} + 1) < 0$ D、 $\forall x \in [0 ， + ∞)$ ， $l n (x^{2} + 1) < 0$

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3. 已知 $i$ 是虚数单位，若复数 $z$ 满足： $z (1 - i) = 2 i$ ，则复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 + i$ D、 $1 - i$

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4. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ ，且 $f (0) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则下列陈述不正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $x = \frac{π}{12}$ 为 $f (x)$ 的一个对称轴 C、函数 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2} ， \frac{5 π}{6})$ 上单调 D、函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， π)$ 上有两个零点

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5. 战国时期的铜镞是一种兵器，其由两部分组成，前段是高为3cm、底面边长为2cm的正三棱锥，后段是高为1cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积为（）

A、 $\sqrt{3} + \frac{π}{3} c m^{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{π}{3} c m^{3}$ C、 $\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3} π}{4} c m^{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} π}{4} c m^{3}$

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6. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左，右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交双曲线的左支于 $A ， B$ 两点，若 $| A F_{2} | + | B F_{2} |$ 的最小值为 $13$ ，则双曲线的离心率为（　　）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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7. 甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以 $A_{1} ， A_{2}$ 和 $A_{3}$ 表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）

A、 $P (B | A_{2}) = \frac{4}{11}$ B、事件 $A_{1}$ 与事件B相互独立 C、 $P (A_{3} | B) = \frac{1}{2}$ D、 $P (B) = \frac{3}{10}$

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8. 设函数 $f (x)$ 定义域为 $R$ ， $f (x - 1)$ 为奇函数， $f (x + 1)$ 为偶函数，当 $x \in (- 1 ， 1)$ 时， $f (x) = - x^{2} + 1$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $f (\frac{7}{2}) = - \frac{3}{4}$ B、 $f (x + 7)$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 在 $(6 ， 8)$ 上是减函数 D、方程 $f (x) + l g x = 0$ 仅有6个实数解

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二、多选题

9. 中国网络文学历经20年的发展，取得了引人注目的成就.以往反响较大的玄幻类题材影响力开始下降，讴歌祖国、讴歌人民和英雄、传承优秀传统文化、颂扬当代美好生活的优秀作品逐渐赢得读者的青睐﹐下图是2013—2019年中国网络文学市场规模情况，则下列结论错误的是（）

A、这7年网络文学市场规模的中位数为 $66.3$ B、2013年至2015年的同比增长相对2017年至2019年，波动性更大 C、这7年网络文学市场规模的极差为 $165.5$ D、这7年同比增长的平均数超过 $40 %$

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10. 设 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是两个非零向量，则下列命题中正确的有（）

A、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | - | \vec{b} |$ ，则存在实数 $λ$ 使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ C、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $\vec{a}$ D、若存在实数 $λ$ 使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | - | \vec{b} |$

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11. 如图所示，设单位圆与 $x$ 轴的正半轴相交于点 $A (1 ， 0)$ ，以 $x$ 轴非负半轴为始边作锐角 $α$ ， $β$ ， $α - β$ ，它们的终边分别与单位圆相交于点 $P_{1}$ ， $A_{1}$ ， $P$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\overset{⌢}{A P}$ 的长度为 $α - β$ B、扇形 $O A_{1} P_{1}$ 的面积为 $α - β$ C、当 $A_{1}$ 与 $P$ 重合时， $| A P_{1} | = 2 s i n β$ D、当 $α = \frac{π}{3}$ 时，四边形 $O A A_{1} P_{1}$ 面积的最大值为 $\frac{1}{2}$

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，棱长为 $2 ， R ， E ， F$ 分别是 $A B ， A_{1} D_{1} ， C C_{1}$ 的中点，连接 $R E ， E F ， R F$ ，记 $R ， E ， F$ 所在的平面为 $α$ ，则（）

A、 $α$ 与正方体的棱有6个交点 B、 $B_{1} D ⊥ α$ C、 $α$ 截正方体所得的截面面积为 $3 \sqrt{3}$ D、 $D D_{1}$ 与 $α$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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三、填空题

13. 曲线 $f (x) = \frac{s i n x + c o s x}{s i n x - c o s x}$ 的一个对称中心为（答案不唯一）.

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14. ${(x + \frac{1}{x} + 2)}^{4}$ 的展开式的常数项是．

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15. 过圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 2$ 上一点 $P$ 作圆 $C ： {(x - 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 2$ 的切线，切点为 $Q$ ，则 $| P Q |$ 的最小值为.

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16. 定义在 $R$ 上的可导函数 $f (x)$ 满足 $f (x) - f (- x) + x (\frac{1}{e^{x}} + e^{x}) = 0$ ，且在 $(0 ， + \infty)$ 上有 $f^{'} (x) > \frac{1}{e^{2}}$ 成立.若实数 $a$ 满足 $f (1 - a) - f (a) + e^{a - 1} - a e^{a - 1} - a e^{- a} \geq 0$ ，则 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $c = \sqrt{3} a s i n C - c c o s A$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $b$ ， $c$ .

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18. 全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)、求频率分布直方图中 $m$ 的值，并估计这50名学生成绩的中位数；

(2)、在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记 $ξ$ 为3人中成绩在[80，90)的人数，求 $ξ$ 的分布列和数学期望；

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19. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{n} > 0$ ，且满足 $S_{2 n} = 2 (a_{n}^{2} - 1)$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} \cdot l o g_{2} a_{2 n - 1}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 如图， $A D ∥ B C$ 且 $A D = 2 B C$ ， $A D ⊥ C D$ ， $E G ∥ A D$ 且 $E G = A D$ ， $C D ∥ F G$ 且 $C D = 2 F G$ ， $D G ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $D A = D C = D G = 2$ ．

(1)、求平面 $E B C$ 与平面 $E F G$ 的夹角；

(2)、求直线 $A D$ 到平面 $E B C$ 的距离．

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21. 已知函数 $f (x) = (1 + a x) e^{x}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求证： $f (x) + 1 > 0$ ；

(2)、当 $a < 0$ 时，不等式 $f (x) ≤ 1$ 恒成立，求a的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系 $O x y$ 中，动圆 $P$ 与圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} + 2 x - \frac{45}{4} = 0$ 内切，且与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 2 x + \frac{3}{4} = 0$ 外切，记动圆 $P$ 的圆心的轨迹为 $E$ .

(1)、求轨迹 $E$ 的方程；

(2)、不过圆心 $C_{2}$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交轨迹 $E$ 于 $A ， M$ 两个不同的点，连接 $A C_{2}$ 交轨迹 $E$ 于点 $B$ .
（i）若直线 $M B$ 交 $x$ 轴于点 $N$ ，证明： $N$ 为一个定点；
（ii）若过圆心 $C_{1}$ 的直线交轨迹 $E$ 于 $D ， G$ 两个不同的点，且 $A B ⊥ D G$ ，求四边形 $A D B G$ 面积的最小值.

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