广西桂林市、崇左市2023届高三理数联考试卷

试卷更新日期：2023-02-20 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {2, 3, 4}$ ，集合 $B = {x ∣ x^{2} - 3 x + m = 0}$ ．若 $A \cap B = {2}$ ，则 $B =$ （）

A、 ${1, - 2}$ B、 ${1, 0}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${1, 3}$

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2. 已知复数 $z = (3 - i)^{2}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、-6 B、6 C、 $6 i$ D、 $- 6 i$

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3. 已知实数x，y满足不等式组 ${\begin{array}{l} y \geq x \\ x \geq - 1 \\ 2 x + y \leq 3 \end{array}$ ，则 $x + y$ 的取值范围为（）

A、 $[- 2 ， 0]$ B、 $[- 2 ， 2]$ C、 $[2 ， 4]$ D、 $[- 2 ， 4]$

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4. 若 $c o s (\frac{π}{2} - α) = \frac{1}{3}$ ， $\frac{π}{2} < α < π$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{9}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ D、 $- \frac{4}{9}$

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5. 有一组样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，由这组数据得到新的样本数据 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， …， $y_{n}$ ，其中 $y_{i} = c x_{i}$ （ $i = 1$ ， 2，…，n），且 $c \neq 0$ ，则下列说法中错误的是（）

A、新样本数据的平均数是原样本数据平均数的c倍 B、新样本数据的上四分位数是原样本数据上四分位数的c倍 C、新样本数据的方差是原样本数据方差的c倍 D、新样本数据的极差是原样本数据极差的c倍

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6. 将函数 $y = \frac{x - 3}{x - 2}$ 的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数 $f (x)$ ，则函数 $f (x)$ 的图象与函数 $y = 2 s i n π x (- 4 \leq x \leq 6)$ 图象所有交点的横坐标之和等于（）

A、12 B、4 C、6 D、8

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7. 在 ${(a x^{2} - \frac{1}{x^{2}})}^{5}$ 的展开式中，若 $x^{2}$ 项的系数为 $270$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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8. 如图，已知某个几何体的三视图，根据图中标出的尺寸（单位：mm），可得这个几何体的体积是（）

A、 $12000000 m m^{3}$ B、 $8000000 m m^{3}$ C、 $6000000 m m^{3}$ D、 $4000000 m m^{3}$

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9. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $\frac{n + 1}{a_{n + 1}} = \frac{n}{a_{n}} + 2^{n}$ ，则 $S_{100} =$ （）

A、 $2 - \frac{49}{2^{100}}$ B、 $2 - \frac{49}{2^{99}}$ C、 $2 - \frac{51}{2^{100}}$ D、 $2 - \frac{51}{2^{99}}$

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10. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左、右焦点，P为椭圆上一动点， $F_{2}$ 关于直线 $P F_{1}$ 的对称点为M， $F_{1}$ 关于直线 $P F_{2}$ 的对称点为N，当 $| M N |$ 最大时，则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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11. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B C D$ 为矩形， $△ P A D$ 为等腰直角三角形， $P A = P D = \sqrt{2}$ ， $A B = 4$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 外接球的表面积为

A、 $24 π$ B、 $20 π$ C、 $16 π$ D、 $8 π$

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12. 已知函数 $y = a x^{3} - x^{2} + 3 a x + 5$ 有极大值和极小值，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{3} ， \frac{1}{3})$ B、 $(- \frac{1}{3} ， 0) \cup (0 ， \frac{1}{3})$ C、 $(- \infty ， - \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3} ， + \infty)$ D、 $(- 3 ， 3)$

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二、填空题

13. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $\vec{O A} = (1 ， 2)$ ，当 $\vec{O A}$ 绕原点逆时针旋转 $60 °$ 得到 $\vec{O B}$ ，则 $\vec{O B}$ 的坐标为.

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14. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} = 2$ ， $a_{5} = \frac{1}{8}$ ，则公比 $q =$ ．

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15. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ $(a > 0)$ 的一条渐近线方程过 $(1, a)$ ，则此双曲线的离心率为.

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16. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2^{n + 1} - m$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，其中 $n \in N^{*}$ ，给出以下命题：
① $m = 1$ ；
②若 $t a_{n} > b_{n} - 4$ 对 $n \in N^{*}$ 恒成立，则 $t > \frac{1}{32}$ ；
③设 $f (n) = a_{n} + \frac{36}{a_{n}}$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $f (n)$ 的最小值为 $12$ ；
④设 $c_{n} = {\begin{array}{l} b_{n}^{2} - λ b_{n} + 1 ， n \leq 4 \\ a_{n} ， n > 4 \end{array}$ ， $n \in N^{*}$ 若数列 ${c_{n}}$ 单调递增，则实数 $λ$ 的取值范围为 $(- \frac{15}{4} ， 3)$ ．
其中所有正确的命题的序号为．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a = b (s i n C + c o s C)$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $A = \frac{π}{2}$ ， $D$ 为 $△ A B C$ 外一点（ $A$ 、 $D$ 在直线 $B C$ 两侧）， $D B = 2$ ， $D C = 3$ ，求四边形 $A B D C$ 面积的最大值．

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18. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E是 $C_{1} C$ 的中点，M是AD的中点．

(1)、证明： $B E ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} M$ ；

(2)、求直线 $B D_{1}$ 与平面 $E B D$ 所成角的正弦值．

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19. 已知抛物线 $x^{2} = 2 p y$ 上一点 $P (- 2 ， 1)$ ，焦点为F．

(1)、求 $| P F |$ 的值；

(2)、已知A，B为抛物线上异于P点的不同两个动点，且 $P A ⊥ P B$ ，过点P作直线AB的垂线，垂足为C，求C点的轨迹方程．

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20. 某机器由A，B，C三类元件构成，它们所占的比例分别为0.1，0.4，0.5，且它们发生故障的概率分别为0.7，0.1，0.2，现机器发生了故障，问：应从哪类元件开始检查？

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21. 已知 $f (x) = a x - l n x$ （ $a \in R$ ）．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$
①求 $a$ 的取值范围；
②实数 $m$ 满足 $l n x_{1} + l n x_{2} > m$ ，求 $m$ 的最大值．

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22. 在直角坐标系xOy中，直线l经过点 $M (- 1 ， m)$ 且斜率为1.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ \sin^{2} θ = 2 p \cos θ (p > 0)$ .直线l交曲线C于不同的两点A，B.

(1)、写出直线l的一个参数方程，并求曲线C的直角坐标方程；

(2)、若点M在曲线C的准线上，且 $| M A |$ ， $\frac{1}{2} | A B |$ ， $| M B |$ 成等比数列，求m的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 2 | - | x - 2 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) \geq 6$ .

(2)、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $g (x) = f (x) - | x + 1 |$ 的最大值 $m$ ， $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = m$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值.

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