广东省茂名市2023届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2023-02-20 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 1 < x < 3}$ ， $B = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 3}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 3}$ B、 ${x | - 1 < x < 3}$ C、 ${0 ， 1}$ D、 ${0}$

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2. 复平面内表示复数 $z = i (2 - 3 i)$ 的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = \vec{c}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，若点M满足 $\vec{M C} = 2 \vec{B M}$ ，则 $\vec{A M} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{5}{3} \vec{c} - \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

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4. 将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有（）

A、480种 B、240种 C、15种 D、10种

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5. 蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线长为 $2 \sqrt{3}$ m，轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是面积为 $3 \sqrt{3} m^{2}$ 的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为（）

A、 $21 π m^{3}$ B、 $18 π m^{3}$ C、 $(18 + 3 \sqrt{3}) π m^{3}$ D、 $(20 + 3 \sqrt{3}) π m^{3}$

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6. 下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（）

A、 $f (x) = c o s^{2} x + s i n x c o s x$ B、 $f (x) = \frac{1 - c o s 2 x}{2 s i n x c o s x}$ C、 $f (x) = c o s (x + \frac{π}{3}) + c o s (x - \frac{π}{3})$ D、 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{6}) c o s (x + \frac{π}{6})$

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7. 设 $a = 2 (l n 2 - \frac{3}{5})$ ， $b = l n \frac{3}{e^{2}} + 1$ ， $c = l n \frac{5}{e^{2}} + \frac{2}{3}$ 则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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8. 已知菱形ABCD的各边长为2， $∠ B = 60 °$ .将 $△ A B C$ 沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥 $P - A C D$ ，如图所示，当三棱锥 $P - A C D$ 的表面积最大时，三棱锥 $P - A C D$ 的外接球体积为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} π$ C、 $2 \sqrt{3} π$ D、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$

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二、多选题

9. 已知空间中三条不同的直线a、b、c，三个不同的平面 $α 、 β 、 γ$ ，则下列说法中正确的是（）

A、若 $a ∥ b$ ， $a ⊥ α$ ，则 $b ⊥ α$ B、若 $α \cap β = a$ ， $β ∩ γ = b$ ， $α \cap γ = c$ ，则 $a ∥ b ∥ c$ C、若 $α ⊥ β$ ， $a ⊄ α$ ， $a ⊥ β$ ，则 $a ∥ α$ D、若 $c ⊥ β$ ， $c ⊥ γ$ ，则 $β ∥ γ$

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10. 已知函数 $f (x)$ 对 $\forall x \in R$ ，都有 $f (x) = f (- x)$ ， $f (x + 1)$ 为奇函数，且 $x \in [0 ， 1)$ 时， $f (x) = x^{2}$ ，下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图像关于点 $(1 ， 0)$ 中心对称 B、 $f (x)$ 是周期为2的函数 C、 $f (- 1) = 0$ D、 $f (\frac{7}{2}) = \frac{1}{4}$

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11. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ ， F为抛物线C的焦点，下列说法正确的是（）

A、若抛物线C上一点P到焦点F的距离是4，则P的坐标为 $(- 2 \sqrt{3} ， 3)$ 、 $(2 \sqrt{3} ， 3)$ B、抛物线C在点 $(- 2 ， 1)$ 处的切线方程为 $x + y + 1 = 0$ C、一个顶点在原点O的正三角形与抛物线相交于A、B两点， $△ O A B$ 的周长为 $8 \sqrt{3}$ D、点H为抛物线C的上任意一点，点 $G (0 ， - 1)$ ， $| H G | = t | H F |$ ，当t取最大值时， $△ G F H$ 的面积为2

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12. e是自然对数的底数， $m ， n \in R$ ，已知 $m e^{m} + l n n > n l n n + m$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、若 $m > 0$ ，则 $m - n > 0$ B、若 $m > 0$ ，则 $e^{m} - n > 0$ C、若 $m < 0$ ，则 $m + l n n < 0$ D、若 $m < 0$ ，则 $e^{m} + n > 2$

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三、填空题

13. ${(x + \frac{1}{x})}^{8}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为（用数字作答）.

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14. 过四点 $(- 1 ， 1)$ 、 $(1 ， - 1)$ 、 $(2 ， 2)$ 、 $(3 ， 1)$ 中的三点的一个圆的方程为（写出一个即可）.

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15. e是自然对数的底数， $f (x) = e^{c o s (2 π x)} + e^{2 x} - 2 e x - \frac{1}{e}$ 的零点为.

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16. 已知直线 $x = 2 m$ 与双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > 0 ， n > 0)$ 交于A，B两点（A在B的上方），A为BD的中点，过点A作直线与y轴垂直且交于点E，若 $△ B D E$ 的内心到y轴的距离不小于 $\frac{3}{2} m$ ，则双曲线C的离心率取值范围是.

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四、解答题

17. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $a_{n} > 0$ ， ${a_{n}}^{2} + 2 a_{n} = 4 S_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式：

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ， $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项和.求 $T_{n}$ ，并证明： $\frac{1}{8} \leq T_{n} \leq \frac{1}{4}$ .

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a = b + 2 b c o s C$ .

(1)、求证： $C = 2 B$ .

(2)、求 $\frac{a + c}{b}$ 的取值范围.

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19. 如图所示，三棱锥 $P - A B C$ ， BC为圆O的直径，A是弧 $\overset{⌢}{B C}$ 上异于B、C的点.点D在直线AC上， $O D ∥$ 平面PAB，E为PC的中点.

(1)、求证： $D E / /$ 平面PAB；

(2)、若 $P A = P B = P D = A B = A D = 4$ ，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值.

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20. 学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛.

(1)、求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；

(2)、比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积 $- 2$ 分.现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为 $\frac{3}{5}$ ，乙赢概率为 $\frac{2}{5}$ ，比赛共进行二轮.
（i）在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列；
（ii）在两轮比赛中，求这两名学生得分的分布列和均值.

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点F为 $(- \sqrt{7} ， 0)$ ，过椭圆左顶点和上顶点的直线的斜率为 $\frac{3}{4}$ .

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、若 $N (t ， 6)$ 为平面上一点，C，D分别为椭圆的上、下顶点，直线NC，ND与椭圆的另一个交点分别为P，Q.试判断点F到直线PQ的距离是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由.

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22. 若函数 $f (x) = a l n x - \frac{1}{2} x^{2} + a + \frac{1}{2} (x > 0)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .

(1)、求a的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(x_{1} ， 0)$ 和 $(x_{2} ， 0)$ 处的切线交于点 $(x_{3} ， y_{3})$ ，求证： $2 x_{3} < x_{1} + x_{2} < 2 (a + 1)$ .

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