2013年高考理数真题试卷（广东卷）

试卷更新日期：2016-09-26 类型：高考真卷

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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合M={x|x²+2x=0，x∈R}，N={x|x²﹣2x=0，x∈R}，则M∪N=（）

A、{0} B、{0，2} C、{﹣2，0} D、{﹣2，0，2}

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2. 定义域为R的四个函数y=x³ ， y=2^x ， y=x²+1，y=2sinx中，奇函数的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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3. 若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（）

A、（2，4） B、（2，﹣4） C、（4，﹣2） D、（4，2）

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4. 已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
$\frac{3}{5}$
$\frac{3}{10}$
$\frac{1}{10}$
则X的数学期望E（X）=（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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5. 某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（）

A、4 B、 $\frac{14}{3}$ C、 $\frac{16}{3}$ D、6

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6. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A、若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B、若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C、若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D、若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

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7. 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于 $\frac{3}{2}$ ，则C的方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{\sqrt{5}} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{\sqrt{5}} = 1$

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8. 设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}．令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（）

A、（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S B、（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S C、（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S D、（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S

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二、填空题

9. 不等式x²+x﹣2＜0的解集为．

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10. 若曲线y=kx+lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k= ．

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11. 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为．

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12. 在等差数列{a_n}中，已知a₃+a₈=10，则3a₅+a₇= ．

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13. 给定区域D： ${\begin{matrix} x + 4 y \geq 4 \\ x + y \leq 4 \\ x \geq 0 \end{matrix}$ ．令点集T={（x₀ ， y₀）∈D|x₀ ， y₀∈Z，（x₀ ， y₀）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定条不同的直线．

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14. （坐标系与参数方程选做题）
已知曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \sqrt{2} \cos t \\ y = \sqrt{2} \sin t \end{matrix}$ （t为参数），C在点（1，1）处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为．

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15. 如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC= ．

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三、解答题．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2} \cos (x - \frac{π}{12})$ ，x∈R．

(1)、求 $f (- \frac{π}{6})$ 的值；

(2)、若 $\cos θ = \frac{3}{5}$ ， $θ \in (\frac{3 π}{2} ， 2 π)$ ，求 $f (2 θ + \frac{π}{3})$ ．

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17. 某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．

(1)、根据茎叶图计算样本均值；

(2)、日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？

(3)、从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．

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18. 如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分别是AC，AB上的点， $C D = B E = \sqrt{2}$ ，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱椎A′﹣BCDE，其中A′O= $\sqrt{3}$ ．

(1)、证明：A′O⊥平面BCDE；

(2)、求二面角A′﹣CD﹣B的平面角的余弦值．

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19. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，已知a₁=1， $\frac{2 S_{n}}{n} = a_{n + 1} - \frac{1}{3} n^{2} - n - \frac{2}{3}$ ，n∈N^* ．

(1)、求a₂的值；

(2)、求数列{a_n}的通项公式；

(3)、证明：对一切正整数n，有 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} < \frac{7}{4}$ ．

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20. 已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、当点P（x₀ ， y₀）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；

(3)、当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．

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21. 设函数f（x）=（x﹣1）e^x﹣kx²（k∈R）．

(1)、当k=1时，求函数f（x）的单调区间；

(2)、当 $k \in (\frac{1}{2} ， 1]$ 时，求函数f（x）在[0，k]上的最大值M．

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X	1	2	3
P	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{10}$