2023年中考数学精选真题实战测试45 四边形综合题 A

试卷更新日期：2023-02-18 类型：二轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 如图，在菱形ABCD中， $A B = 2 ， ∠ A B C = 60 °$ ， M是对角线BD上的一个动点， $C F = B F$ ，则 $M A + M F$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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2. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（）

A、当 $t = 4 s$ 时，四边形ABMP为矩形 B、当 $t = 5 s$ 时，四边形CDPM为平行四边形 C、当 $C D = P M$ 时， $t = 4 s$ D、当 $C D = P M$ 时， $t = 4 s$ 或6s

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3. 若顺次连接四边形 $A B C D$ 各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形 $A B C D$ 的两条对角线 $A C ， B D$ 一定是（）

A、互相平分 B、互相垂直 C、互相平分且相等 D、互相垂直且相等

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4. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点， $A P ⊥ E F$ 分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DC的中点，连接AP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形，下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的 $\frac{1}{4}$ .正确的有（）

A、只有① B、①② C、①③ D、②③

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5. 如图，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝2 $\sqrt{3}$ ，BC＝2，M为AB上一动点，过点M作直线l⊥AB，若点M从点A开始沿着AB方向移动到点B即停（直线l随点M移动），直线l扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S.设AM＝x，则S关于x的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，已知菱形 $A B C D$ 的边长为2，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O，点M，N分别是边 $B C 、 C D$ 上的动点， $∠ B A C = ∠ M A N = 60 °$ ，连接 $M N 、 O M$ .以下四个结论正确的是（）
① $△ A M N$ 是等边三角形；② $M N$ 的最小值是 $\sqrt{3}$ ；③当 $M N$ 最小时 $S_{△ C M N} = \frac{1}{8} S_{菱形 A B C D}$ ；④当 $O M ⊥ B C$ 时， $O A^{2} = D N \cdot A B$ .

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、①②③④

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7. 如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ；第二次，顺次连接四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 各边的中点，得到四边形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ ；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形 $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ 的面积是（）

A、 $\frac{a b}{2^{n}}$ B、 $\frac{a b}{2^{n - 1}}$ C、 $\frac{a b}{2^{n + 1}}$ D、 $\frac{a b}{2^{2 n}}$

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8. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B < B C$ ，连接 $A C$ ，分别以点 $A$ ， $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $M$ ， $N$ ，直线 $M N$ 分别交 $A D$ ， $B C$ 于点 $E$ ， $F .$ 下列结论：
$①$ 四边形 $A E C F$ 是菱形； $② ∠ A F B = 2 ∠ A C B$ ； $③ A C \cdot E F = C F \cdot C D$ ； $④$ 若 $A F$ 平分 $∠ B A C$ ，则 $C F = 2 B F$ .

其中正确结论的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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9. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 15$ ， $B C = 20$ ，把边AB沿对角线BD平移，点 $A'$ ， $B'$ 分别对应点A，B.给出下列结论：①顺次连接点 $A'$ ， $B'$ ，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线 $A A'$ 的对称点的距离为48；③ $A' C - B' C$ 的最大值为15；④ $A' C + B' C$ 的最小值为 $9 \sqrt{17}$ .其中正确结论的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图， $△ A B C$ 是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且 $∠ D B E = 30 °$ ，过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F ，分别交BC、AB于点H、G ．现有以下结论：① $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ；②当点D与点C重合时， $F H = \frac{1}{2}$ ；③ $A E + C D = \sqrt{3} D E$ ；④当 $A E = C D$ 时，四边形BHFG为菱形，其中正确结论为（）

A、①②③ B、①②④ C、①②③④ D、②③④

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二、填空题（每空3分，共18分）

11. 利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是．

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12. 如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且 $B E = D F$ ，连接EF交边AD于点G．过点A作 $A N ⊥ E F$ ，垂足为点M，交边CD于点N．若 $B E = 5$ ， $C N = 8$ ，则线段AN的长为

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13. 如图，正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，点 $E$ 在边 $B C$ 上，点 $F$ 在 $C B$ 的延长线上， $∠ E A F = 45 °$ ， $A E$ 交 $B D$ 于点 $G$ ， $\tan ∠ B A E = \frac{1}{2}$ ， $B F = 2$ ，则 $F G =$ .

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14. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = A C = 10$ ，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $M$ 在线段 $A C$ 上，且 $A M = 3$ ，点 $P$ 为线段 $B D$ 上的一个动点，则 $M P + \frac{1}{2} P B$ 的最小值是.

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15. 如图，点O是正方形 $A B C D$ 的中心， $A B = 3 \sqrt{2}$ ． $R t △ B E F$ 中， $∠ B E F = 90 ° ， E F$ 过点D， $B E ， B F$ 分别交 $A D ， C D$ 于点G，M，连接 $O E ， O M ， E M$ ．若 $B G = D F ， \tan ∠ A B G = \frac{1}{3}$ ，则 $△ O E M$ 的周长为．

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16. 如图，正方形ABCD的边长为 $2 \sqrt{5}$ ，点E是BC的中点，连接CG并延长，交AB于点F ，连接AH ．以下结论：①CF⊥DE；② $\frac{C H}{H F} = \frac{2}{3}$ ；③ $G H = \frac{2}{3} \sqrt{5}$ ，④ $A D = A H$ ，其中正确结论的序号是．

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三、解答题（共7题，共72分）

17. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．

(1)、求BD的长；

(2)、点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE= $\sqrt{3}$ DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；

②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+ $\sqrt{3}$ CF的值是否也最小？如果是，求CE+ $\sqrt{3}$ CF的最小值；如果不是，请说明理由．

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18. 矩形ABCD中，

\frac{A B}{B C}

＝

\frac{k}{2}

（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．

(1)、【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；

小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．

证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．

∵k＝2，

∴AB＝BC．

∵∠B＝90°，BH＝BE，

∴∠1＝∠2＝45°，

∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．

∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，

∴∠3＝ $\frac{1}{2}$ ∠DCG＝45°．

∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．

∴……

（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）

(2)、【类比探究】如图（2），当k≠2时，求

\frac{A E}{E F}

的值（用含k的式子表示）；

(3)、【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，

P F = \sqrt{5}

，求BC的长．

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19. 【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形 $A B C D$ 为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中 $A D = \sqrt{2} A B$ ．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在 $A D$ 上，点B的对应点为点E，折痕为 $A F$ ；再沿过点F的直线折叠，使点C落在 $E F$ 上，点C的对应点为点H，折痕为 $F G$ ；然后连结 $A G$ ，沿 $A G$ 所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想 $△ A D G ≌ △ A F G$ ．

(1)、【问题解决】
小亮对上面 $△ A D G ≌ △ A F G$ 的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：

证明：四边形 $A B C D$ 是矩形，

∴ $∠ B A D = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 90 °$ ．

由折叠可知， $∠ B A F = \frac{1}{2} ∠ B A D = 45 °$ ， $∠ B F A = ∠ E F A$ ．

∴ $∠ E F A = ∠ B F A = 45 °$ ．

∴ $A F = \sqrt{2} A B = A D$ ．

请你补全余下的证明过程．

(2)、【结论应用】
$∠ D A G$ 的度数为度， $\frac{F G}{A F}$ 的值为；

(3)、在图①的条件下，点P在线段 $A F$ 上，且 $A P = \frac{1}{2} A B$ ，点Q在线段 $A G$ 上，连结 $F Q$ 、 $P Q$ ，如图②，设 $A B = a$ ，则 $F Q + P Q$ 的最小值为．（用含a的代数式表示）

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20. 已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG．

(1)、如图1，当 $\frac{A D}{A B}$ ＝ $\frac{A G}{A E}$ ＝1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；

(2)、如图2，当 $\frac{A D}{A B}$ ＝ $\frac{A G}{A E}$ ＝2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；

(3)、如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB＝ $\sqrt{5}$ ， ∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积．

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21. 如图，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连接CF，AC′．

(1)、直接写出图中与△AFB相似的一个三角形；

(2)、若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长；

(3)、当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？

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22. $△ A B C$ 和 $△ A D F$ 均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿 $A B 、 B C$ 运动，运动到点B、C停止.

(1)、如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段 $C D 、 E F$ 的数量关系是，位置关系是；

(2)、如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(3)、当点D运动到什么位置时，四边形 $C E F D$ 的面积是 $△ A B C$ 面积的一半，请直接写出答案；此时，四边形 $B D E F$ 是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.

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23. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分∠CBE交DE于点G．

(1)、求证： $∠ D B G = 90 °$ .

(2)、若 $B D = 6 ， D G = 2 G E$ ．
①求菱形 $A B C D$ 的面积.

②求 $\tan ∠ B D E$ 的值.

(3)、若 $B E = A B$ ，当 $∠ D A B$ 的大小发生变化时（ $0 ° < ∠ D A B < 180 °$ ），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值．

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