山东省淄博市临淄区2021-2022学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-02-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 函数 $y = \frac{1}{\sqrt{x - 3}}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \neq 3$ B、 $x > 3$ C、 $x ≥ 3$ D、 $x \leq 3$

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2. 下列二次根式中，最简二次根式是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ D、 $\sqrt{0.2}$

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3. 下列计算正确的是（　　）

A、 $\sqrt{12} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ C、 $3 \sqrt{5} \times \sqrt{5} = 4 \sqrt{5}$ D、 $(2 \sqrt{2})^{2} = 4 \sqrt{2}$

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4. 如图，边长为1的正方形网格图中，点 $A$ ， $B$ 都在格点上，若 $B C = \frac{2 \sqrt{13}}{3}$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\frac{4 \sqrt{13}}{3}$ C、 $2 \sqrt{13}$ D、 $3 \sqrt{13}$

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5. 估计 $(\sqrt{45} + \sqrt{12}) \div \sqrt{3}$ 的值应在（）之间．

A、3和4 B、4和5 C、5和6 D、6和7

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6. 如果方程（m﹣3） $x^{m^{2} - 7}$ ﹣x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（）

A、±3 B、3 C、﹣3 D、都不对

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7. 根据下面表格中的对应值：

x

3.23

3.24

3.25

3.26

ax²＋bx＋c

－0.06

－0.02

0.03

0.09

判断方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）

A、3＜x＜3.23 B、3.23＜x＜3.24 C、3.24＜x＜3.25 D、3.25＜x＜3.26

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8. 已知多项式 $P = \frac{1}{2} x - 2$ ， $Q = x^{2} - \frac{3}{2} x$ （ $x$ 为任意实数），试比较多项式 $P$ 与 $Q$ 的大小．（）

A、无法确定 B、 $P > Q$ C、 $P = Q$ D、 $P < Q$

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9. 已知关于x的一元二次方程x²+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、实数根的个数与实数b的取值有关

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10. 已知：
问题1，某厂用2年时间把总产值增加了原来的b倍，求每年平均增长的百分数；

问题2，总产值用2年的时间在原来a万元的基础上增加了b万元，求每年平均增长的百分数；

问题3，某厂用2年的时间把总产值增加到原来的b倍，求每年平均增长的百分数．

设每年平均增长的百分数x ，那么下面的三个方程：

①（1+x）²＝b ，

②a（1+x）²＝a+b ，

③（1+x）²＝b+1，

按问题1、2、3的序号排列，相对应的是（　　）

A、①②③ B、③②① C、①③② D、②①③

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11. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + 5 = 0 (a \neq 0)$ 有一根为2022，则方程 $a {(x + 1)}^{2} + b (x + 1) = - 5$ 必有根为（）

A、2022 B、2020 C、2019 D、2021

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12. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，下列说法：
①若 $a + b + c = 0$ ，则 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ；②若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有两个不相等的实根；③若c是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $a c + b + 1 = 0$ 成立；④若 $x_{0}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = {(2 a x_{0} + b)}^{2}$ ．
其中正确的是（）

A、①②④ B、①②③ C、①③④ D、②③④

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二、填空题

13. $\sqrt{{(- 9)}^{2}}$ ＝.

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14. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的两个实数根分别为2和-3，则分解因式： $x^{2} + b x + c =$ ．

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15. 阅读理解：设 $\vec{a} = (x_{1} ， y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2} ， y_{2})$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，即 $x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2} = 0$ ，已知 $\vec{a} = (- 2 ， x + 1)$ ， $\vec{b} = (3 ， x + 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则x的值为．

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16. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑，内方圆径若能知，堪作算中第一.”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远.如果你能求出正方形的边长是x步，则列出的方程是.

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17. 关于 $x$ 的方程 $(k - 1) x^{2} + 2 k x + 2 = 0$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程的两个根，设 $S = \frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} + x_{1} + x_{2}$ ，则当 $S$ 的值为2时，k= ．

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三、解答题

18. 计算：

(1)、 $2 \sqrt{12} - 6 \sqrt{\frac{1}{3}} + 3 \sqrt{48}$ ；

(2)、 $(\sqrt{5} + 3) (\sqrt{5} - 3) - {(\sqrt{3} - 1)}^{2}$ ．

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19. 在进行二次根式化简时，我们有时会遇到如 $\frac{5}{\sqrt{3}}$ ， $\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$ 这样的式子，可以将其进一步化简： $\frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ ； $\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ ，以上这种化简的方法叫做分母有理化．请化简下列各题（写出化简过程）：

(1)、 $\frac{4}{\sqrt{15} + \sqrt{7}}$ ；

(2)、 $\frac{1}{5 - \sqrt{3}}$ ；

(3)、 $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + … … + \frac{1}{\sqrt{49} + \sqrt{50}}$ ．

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20. 如图，学校建一长方形自行车棚，一边靠墙（墙长18米），另三边用总长50米的栏杆围成，留2米宽的门，若想建成面积为240平方米的自行车棚，则车棚垂直于墙的一边的长为多少米？

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21. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 t x + t^{2} - 2 t + 4 = 0$ ，有两个不相等的实数根 $m$ ， $n$ ．

(1)、求 $t$ 的取值范围；

(2)、当 $t = 3$ 时，解这个方程；

(3)、若 $m$ ， $n$ 是方程的两个实数根，设 $Q = (m - 2) (n - 2)$ ，试求 $Q$ 的最小值．

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22.

(1)、请用配方法解方程 $2 x^{2} - 6 x + 3 = 0$ ；

(2)、请用配方法解一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ．

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23. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．

(1)、若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？

(2)、小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？

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24. 如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 16$ ， $D C = 12$ ， $A D = 21$ ．动点 $P$ 从点 $D$ 出发，沿射线 $D A$ 的方向以每秒2个单位的速度运动，动点 $Q$ 从点 $C$ 出发，沿射线 $C B$ 的方向以每秒1个单位的速度向点 $B$ 运动，点 $P$ ， $Q$ 分别从点 $D$ ， $C$ 同时出发，当点 $P$ 运动到点 $A$ 时，点 $Q$ 随之停止运动．设运动的时间为 $t$ （秒），当 $t$ 为何值时，以 $B$ ， $P$ ， $Q$ 三点为顶点的三角形是等腰三角形？

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x	3.23	3.24	3.25	3.26
ax²＋bx＋c	－0.06	－0.02	0.03	0.09