山东省烟台市蓬莱区2021-2022学年九年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-02-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. $\sqrt{16}$ 的算术平方根是（）

A、2 B、4 C、±2 D、±4

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2. 下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 冠状病毒的直径约为80～120纳米，1纳米＝ $= 1.0 \times 10^{- 9}$ 米，若用科学记数法表示110纳米，则正确的结果是（）

A、 $1.1 \times 10^{- 9}$ 米 B、 $1.1 \times 10^{- 8}$ 米 C、 $1.1 \times 10^{- 7}$ 米 D、 $1.1 \times 10^{- 6}$ 米

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5. 已知一组数据5，4，3，4，9，关于这组数据的下列描述：①平均数是5，②中位数是4，③众数是4，④方差是4，其中正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 m x + m^{2} + m = 0$ 的两个实数根的平方和为12，则 $m$ 的值为（）

A、 $m = - 2$ B、 $m = 3$ C、 $m = 3$ 或 $m = - 2$ D、 $m = - 3$ 或 $m = 2$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 6$ ，以点A为圆心，3为半径的圆与边 $B C$ 相切于点D，与 $A C$ ， $A B$ 分别交于点E和点G，点F是优弧 $G E$ 上一点， $∠ C D E = 18 °$ ，则 $∠ G F E$ 的度数是（）

A、50° B、48° C、45° D、36°

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8. 如图，在△ABC中点D为△ABC的内心，∠A=60°，CD=2，BD=4．则△DBC的面积是（）

A、4 $\sqrt{3}$ B、2 $\sqrt{3}$ C、2 D、4

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9. 如图，矩形 $A B C D$ 的四个顶点分别在直线 $l_{3}$ ， $l_{4}$ ， $l_{2}$ ， $l_{1}$ 上．若直线 $l_{1} / / l_{2} / / l_{3} / / l_{4}$ 且间距相等， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ，则 $\tan α$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{15}$

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10. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（）

A、若 $(- 2 ， y_{1})$ ， $(5 ， y_{2})$ 是图象上的两点，则 $y_{1} > y_{2}$ B、 $3 a + c = 0$ C、方程 $a x^{2} + b x + c = - 2$ 有两个不相等的实数根 D、当 $x \geq 0$ 时，y随x的增大而减小

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二、填空题

11. 若代数式 $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 1}}$ 有意义，则实数x的取值范围是．

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12. 已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x}{x - 3} - 2 = \frac{k}{x - 3}$ 的解是非负数，则 $k$ 的取值范围为．

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13. 如图，在直角坐标系中， $△$ OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）.以点O为位似中心，在第三象限内作与 $△$ OAB的位似比为 $\frac{1}{3}$ 的位似图形 $△$ OCD，则点C的坐标为 .

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14. 如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC经过平移后得到△A₁B₁C₁ ，若AC上一点P(1.2，1.4)平移后对应点为P₁、点P₁绕原点顺时针旋转180°，对应点为P₂ ，则点P₂的坐标为．

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15. 如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．

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16. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G，若DE＝2cm，OF＝3cm，则点A到DF的距离为．

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三、解答题

17. 先化再求代数式 $(1 - \frac{2}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - 1}{2 x + 1}$ 的值，其中 $x = 4 c o s 30 ° - {(x - 3)}^{0}$ ．

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18. 某学校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数分布直方图．部分信息如下：

(1)、本次比赛参赛选手共有人，扇形统计图中“79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为；

(2)、补全图2频数分布直方图；

(3)、成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的这两名学生恰好是一男一女的概率．

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19. 某服装专卖店计划购进 $A ， B$ 两种型号的精品服装．已知2件A型服装和3件B型服装共需4600元；1件A型服装和2件B型服装共需2800元．

(1)、求 $A ， B$ 型服装的单价；

(2)、专卖店要购进 $A ， B$ 两种型号服装60件，其中A型件数不少于B型件数的2倍，如果B型打七五折，那么该专卖店至少需要准备多少货款？

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20. 如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长 $A B = 120 m m$ ，支撑板长 $C D = 80 m m$ ，底座长 $D E = 90 m m$ ，托板 $A B$ 固定在支撑板顶端点 $C$ 处，且 $C B = 40 m m$ ，托板 $A B$ 可绕点 $C$ 转动，支撑板 $C D$ 可绕点 $D$ 转动．（结果保留小数点后一位）（参考数据： $s i n 4 0^{°} \approx 0.643 ， c o s 4 0^{°} \approx 0.766$ ， $t a n 4 0^{°} \approx 0.839$ ， $s i n 26 . 6^{∘} \approx 0.448$ ， $c o s 26 . 6^{°} \approx 0.894 ， t a n 26 . 6^{°} \approx 0.500$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

(1)、若 $∠ D C B = 8 0^{°}$ ， $∠ C D E = 6 0^{°}$ ，求点 $A$ 到直线 $D E$ 的距离；

(2)、为了观看舒适，在（1）的情况下，把 $A B$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $1 0^{∘}$ 后，再将 $C D$ 绕点 $D$ 顺时针旋转，使点 $B$ 落在直线 $D E$ 上即可，求 $C D$ 旋转的角度．

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21. 如图，直线 $y_{1} = - \frac{1}{2} x + b$ 分别与x轴y轴交于A、B两点，反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图像与直线AB交于C，D两点点C的坐标为（2，n），连接OC， $t a n ∠ B O C = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求反比例函数的表达式：

(2)、若x轴上有一点P，使∠ODP=90°，求点P的坐标；

(3)、若y₁≥y₂ ，请直接写出x的取值范围．

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22. 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．

(1)、求证：CD是⊙O的切线；

(2)、若AD＝8， $\frac{B E}{C E}$ ＝ $\frac{1}{2}$ ，求CD的长．

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23. 问题背景：如图①，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC、BC、CD之间的数量关系.
小吴同学探究此问题的思路是：将ΔBCD绕点D逆时针旋转90°到ΔAED处，点B、C分别落在点A、E处（如图②），易证点C、A、E在同一条直线上，并且ΔCDE是等腰直角三角形，所以CE＝ $\sqrt{2}$ CD，从而得出结论：AC+BC＝ $\sqrt{2}$ CD．

图①

图②

图③

图④

简单应用：

(1)、在图①中，若AC＝ $\sqrt{2}$ ，BC＝2 $\sqrt{2}$ ，则CD＝.

(2)、如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，弧AD＝弧BD，若AB＝13，BC＝12，求CD的长.

(3)、拓展延伸：
如图④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝m，BC＝n（m<n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）.

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24. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 与x轴交于点A(-2，0)，与反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 图象交于点B，过点B作BQ⊥y轴于点Q，BQ=1．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、若点P是抛物线对称轴上一点，当BP+OP的值最小时，求线段QP的长；

(3)、若点M是平面直角坐标系内任意一点，在抛物线的对称轴上是否存在一点D，使得以A，B，D，M为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

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