山东省菏泽市单县2021-2022学年九年级下学期期中考试（一模）数学试题

试卷更新日期：2023-02-17 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列各数中，比－1小的数是（）

A、0 B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、 $- π$

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2. $(\sqrt{16})^{2}$ 的算术平方根是（）

A、4 B、±4 C、-4 D、16

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3. 下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ C、 $\sqrt{(- 3)^{2}} = 3$ D、 $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$

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5. 已知直线y=kx（k＞0）与双曲线y= $\frac{3}{x}$ 交于点A（x₁ ， y₁），B（x₂ ， y₂）两点，则x₁y₂+x₂y₁的值为（）

A、﹣6 B、﹣9 C、0 D、9

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6. 如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ，由图中的尺规作图痕迹得到的射线 $B D$ 与 $A C$ 交于点E ，点F为 $B C$ 的中点，连接 $E F$ ，若 $B E = A C = 2$ ，则 $△ C E F$ 的周长为（）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\sqrt{5} + 3$ C、 $\sqrt{5} + 1$ D、4

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8. 如图①，在正方形 $A B C D$ 中，点 $P$ 以每秒 $2 c m$ 的速度从点 $A$ 出发，沿 $A B \to B C$ 的路径运动，到点 $C$ 停止．过点 $P$ 作 $P Q ∥ B D$ ， $P Q$ 与边 $A D$ （或边 $C D$ ）交于点 $Q$ ， $P Q$ 的长度 $y (c m)$ 与点 $P$ 的运动时间 $x$ （秒）的函数图象如图②所示．当点 $P$ 运动2.5秒时， $P Q$ 的长是（）

A、 $2 \sqrt{2} c m$ B、 $3 \sqrt{2} c m$ C、 $4 \sqrt{2} c m$ D、 $5 \sqrt{2} c m$

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二、填空题

9. 分解因式： $8 (a^{2} + 1) + 16 a =$ ．

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10. 一组数据：1，2，1，0，2，a，若它们的众数为1，则这组数据的平均数为．

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11. 已知抛物线 $y = x^{2} - x - 1$ 与 $x$ 轴的一个交点为 $(m ， 0)$ ，则代数式 $m^{2} - m + 2022$ 的值为．

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12. 如图，已知矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $B C = 5 π$ ．分别以 $B$ ， $D$ 为圆心， $A B$ 为半径画弧，两弧分别交对角线 $B D$ 于点 $E$ ， $F$ ，则图中阴影部分的面积为（用含 $π$ 的式子表示）

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13. 如图，将边长为 $6 c m$ 的正方形 $A B C D$ 折叠，使点 $D$ 落在 $A B$ 边的中点 $E$ 处，折痕为 $F H$ ，点 $C$ 落在点 $Q$ 处， $E Q$ 与 $B C$ 交于点 $G$ ，则 $△ E B G$ 的周长是 $c m$ ．

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14. 如图，在平面直角坐标系中， $R t △ O A B$ 斜边上的高为1， $∠ A O B = 30 °$ ，将 $R t △ O A B$ 绕原点顺时针旋转 $90 °$ 得到 $R t △ O C D$ ，点A的对应点C恰好在函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，若在 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上另有一点M使得 $∠ M O C = 30 °$ ，则点M的坐标为.

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三、解答题

15. 计算： $| 2 - \sqrt{3} | + (\sqrt{2} + 1)^{0} - 3 t a n 30 ° + (- 1)^{2022} - {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ；

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16. 化简 $(1 - \frac{2}{x - 1}) \cdot \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 6 x + 9}$ ，再在1，2，3中选取一个适当的数代入求值．

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17. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B = D C$ ，将对角线 $A C$ 向两端分别延长至点 $E$ ， $F$ ，使 $A E = C F$ ．连接 $B E$ ， $D F$ ，若 $B E = D F$ ．证明：四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

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18. 如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯．某测绘兴趣小组为测算电梯 $A C$ 的高度，测得斜坡 $A B = 105$ 米，坡度 $i = 1 ： 2$ ，在 $B$ 处测得电梯顶端 $C$ 的仰角 $α = 45 °$ ，求观光电梯 $A C$ 的高度．
（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{5} \approx 2.24$ ．结果精确到0.1米）

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19. “七·一”建党节前夕，某校决定购买 $A$ ， $B$ 两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知 $A$ 奖品比 $B$ 奖品每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买 $A$ 奖品，其余资金购买 $B$ 奖品，且购买 $B$ 奖品的数量是 $A$ 奖品的3倍．求 $A$ ， $B$ 奖品的单价．

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20. 如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y= $\frac{n}{x}$ （n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．

(1)、求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)、记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；

(3)、直接写出不等式kx+b≤ $\frac{n}{x}$ 的解集．

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21. 我市某校在推进新课改的过程中，开设的体育选修课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图）．

(1)、请你求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；

(2)、该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中人选2人了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．

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22. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，延长 $C A$ 到点 $D$ ，以 $A D$ 为直径作 $⊙ O$ ，交 $B A$ 的延长线于点 $E$ ，延长 $B C$ 到点 $F$ ，使 $B F = E F$ ．

(1)、求证： $E F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $O C = 9$ ， $A C = 4$ ， $A E = 8$ ，求 $B E$ 的长．

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23. 如图1，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ．点 $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $A C$ 的中点， $H$ 为线段 $E F$ 上一动点（不与点 $E$ ， $F$ 重合），将线段 $A H$ 绕点 $A$ 逆时针方向旋转 $90 °$ 得到 $A G$ ，连接 $G C$ ， $H B$ ．

(1)、证明： $△ A H B ≌ △ A G C$ ；

(2)、如图2，连接 $G F$ ， $H C$ ， $A F$ 交 $A F$ 于点 $Q$ ．
①证明：在点 $H$ 的运动过程中，总有 $∠ H F G = 90 °$ ；
②若 $A B = A C = 4$ ，当 $E H$ 的长度为多少时， $△ A Q G$ 为等腰三角形？

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24. 将抛物线 $y = a x^{2} (a \neq 0)$ 向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线 $H ： y = a (x - h)^{2} + k$ ．抛物线 $H$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．已知 $A (- 3 ， 0)$ ，点 $P$ 是抛物线 $H$ 上的一个动点．

(1)、求抛物线 $H$ 的表达式；

(2)、如图1，点 $P$ 在线段 $A C$ 上方的抛物线 $H$ 上运动（不与 $A$ ， $C$ 重合），过点 $P$ 作 $P D ⊥ A B$ ，垂足为 $D$ ， $P D$ 交 $A C$ 于点 $E$ ．作 $P F ⊥ A C$ ，垂足为 $F$ ，求 $△ P E F$ 的面积的最大值；

(3)、如图2，点 $Q$ 是抛物线 $H$ 的对称轴 $l$ 上的一个动点，在抛物线 $H$ 上，是否存在点 $P$ ，使得以点 $A$ ， $P$ ， $C$ ， $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．

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