2023学年中考数学专题演练之圆、相似综合（难度指数：※※※）

试卷更新日期：2023-02-17 类型：三轮冲刺

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一、圆综合专题

1. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $O$ 在直角边 $B C$ 上， $∠ O A C = ∠ B$ ，点 $D$ 在斜边 $A B$ 上，以点 $O$ 为圆心、 $O D$ 为半径作 $⊙ O$ ，交 $D O$ 的延长线于点 $E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ ， $∠ E = \frac{1}{2} ∠ A O C$ .

(1)、求证： $A B$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为3， $t a n ∠ A B O = \frac{1}{2}$ ，求 $A D$ 的长.

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2. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A C$ 为 $⊙ O$ 的直径， $∠ A D B = ∠ C D B$ .

(1)、试判断 $△ A B C$ 的形状，并给出证明；

(2)、若 $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $A D = 2$ ，求 $C D$ 的长度.

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3. 如图⊙O半径为r，锐角△ABC内接于⊙O，连AO并延长交BC于D，过点D作DE⊥AC于E．

(1)、如图1，求证：∠DAB＝∠CDE；

(2)、如图1，若CD＝OA，AB＝6，求DE的长；

(3)、如图2，当∠DAC＝2∠DAB时，BD＝5，DC＝6，求r的值；

(4)、如图3，若AE＝AB＝BD＝1，直接写出AD＋DE的值（用含r的代数式表示）

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4. 如图1，⊙O的直径AB＝4 $\sqrt{2}$ ， C为直径AB下方半圆上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD、BD．

(1)、判断△ABD的形状，并说明理由；

(2)、如图2，点F是弧AD上一点，BF交AD于点E，求证：FE•EB＝AE•DE；

(3)、在（2）的条件下，若AF＝0.8，求FE的长．

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5. 如图，已知 $A B$ 是⊙O的直径，C为⊙O上一点， $∠ O C B$ 的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交 $C B$ 的延长线于点E．

(1)、求证： $C E ⊥ D E$ ；

(2)、若 $A B = 10$ ， $t a n A = \frac{1}{3}$ ，求DE的长．

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6. 如图，PA切 $⊙ O$ 于点A，PC交 $⊙ O$ 于C，D两点，且与直径AB交于点Q.

(1)、求证： $A Q \cdot B Q = C Q \cdot D Q$ ；

(2)、若 $C Q = 2$ ， $Q D = 3$ ， $B Q = 1.5$ ，求线段PD的长.

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7. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B D$ 是弦， $C$ 是 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点，弦 $C E ⊥ A B$ ， H是垂足， $B D$ 交 $C E$ ， $C A$ 于点F，G．

(1)、求证： $C F = B F = G F$ ；

(2)、若 $C D = 6$ ， $A C = 8$ ，求圆O的半径和 $B D$ 长．

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8. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，以 $B C$ 为直径作 $⊙ O$ ，交 $A B$ 边于点D，在 $\overset{⌢}{C D}$ 上取一点E，使 $\overset{⌢}{B E} = \overset{⌢}{C D}$ ，连接 $D E$ ，作射线 $C E$ 交 $A B$ 边于点F．

(1)、求证： $∠ A = ∠ A C F$ ；

(2)、若 $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，求 $B F$ 的长．

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9. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点P在 $⊙ O$ 上，且 $P A = P B$ ，点M是 $⊙ O$ 外一点， $M B$ 与 $⊙ O$ 相切于点B，连接 $O M$ ，过点A作 $A C ∥ O M$ 交 $⊙ O$ 于点C，连接 $B C$ 交 $O M$ 于点D.

(1)、求证 $M C$ 是 $⊙ O$ 的切线

(2)、若 $A B = 20$ ， $B C = 16$ ，连接 $P C$ ，求 $P C$ 的长.

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10. 阿基米德折弦定理：如图1， $A B$ 和 $B C$ 是 $⊙ O$ 的两条弦（即折线 $A B C$ 是圆的一条折弦）， $B C > A B$ ， M是 $\overset{⌢}{A B C}$ 的中点，则从M向 $B C$ 所作垂线的垂足D是折弦 $A B C$ 的中点，即 $C D = A B + B D$ .
下面是运用“截长法”证明 $C D = A B + B D$ 的部分证明过程.
证明：如图2，在 $C B$ 上截取 $C G = A B$ ，连接 $M A ， M B ， M C$ 和 $M G$ .
∵M是 $\overset{⌢}{A B C}$ 的中点，
∴ $M A = M C$
任务：

(1)、请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

(2)、填空：如图（3），已知等边 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = 2$ ， D为 $⊙ O$ 上一点， $∠ A B D = 45 °$ ， $A E ⊥ B D$ 与点E，则 $△ B D C$ 的周长是.

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11. 如图1，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上有一点C，连接 $B C$ ，过点B作 $∠ A B C$ 的平分线 $B D$ 与 $⊙ O$ 交于点D，过点D作 $D E ⊥ B C$ 的延长线于点E.

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B E = 9$ ， $D E = 6$ ，求 $⊙ O$ 的半径；

(3)、如图2，过点D作 $D G ⊥ A B$ 于点G，求证： $2 A G + B C = A B$ .

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二、相似综合专题

12. 如图，在正方形ABCD中，E是边CD上的一点，F是BD上的一点，且FE＝FC．

(1)、请你判断FE是否可以由FA旋转得到，如果可以，请说明旋转方向和角度并证明；如果不可以，请说明理由；

(2)、若正方形的边长为6 $\sqrt{3}$ +6，∠BAF＝30°．
（i）求AF的长度；

（ii）若AE与BD交于点G，求AG的长度．

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13. 在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = ∠ A C B$ ， $A C$ 为对角线， $A D \cdot C B = D C \cdot A C$ ．

(1)、如图1，求证： $A C$ 平分 $∠ D A B$ ；

(2)、如图1，求 $A C = 8$ ， $A B = 12$ ，求 $A D$ 的长；

(3)、如图2，若 $∠ A D C = ∠ A C B = 90 °$ ， E为 $A B$ 的中点，连接 $C E$ 、 $D E$ ， $D E$ 与 $A C$ 交于点F， $C B = 6$ ， $C E = 5$ ，求 $\frac{D F}{E F}$ 的值．

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14. 如图，在正方形ABCD中，E、F分別是线段AD、AB上的点(不与端点重合)，连接 $BE，AP ⊥ BE$ 于点 $P$ ，连接PF.

(1)、如图1，如果点 $F$ 是AB的中点，求证： $BP \cdot BE=2PF \cdot BC$ .

(2)、如图2，如果AE=AF，连接CP：
①求证： $CP ⊥ FP$ ；

②当 $\frac{AE}{AB} = \frac{2}{3}$ ，且 $△ P A F$ 的面积为4时，求 $△ P B C$ 的面积.

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15. 如图（1）所示，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， D是 $A B$ 上一点（不与A，B重合）， $D E ∥ B C$ ，交 $A C$ 于点E，连结 $C D$ .设 $△ A B C$ 的面积为S， $△ D E C$ 的面积为 $S^{'}$ .

(1)、当 $A D = 3$ 时， $△ A D E$ 的面积是6，求 $△ D E C$ 的面积 $S^{'}$ 的值；

(2)、当 $A D = 3$ 时，求S值（结果用含字母 $S^{'}$ 的代数式表示）；

(3)、如图（2）所示，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， A D ∥ B C ， A D = \frac{1}{2} B C$ ， E是 $A B$ 上一点（不与A，B重合）， $E F ∥ B C$ ，交 $C D$ 于点F，连结 $C E$ .设 $A E = n$ ，四边形 $A B C D$ 的面积为S， $△ C E F$ 的面积为 $S^{'}$ ，请你利用前面问题的解法或结论，用含字母n的代数式表示 $\frac{S^{'}}{S}$ .

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16. 如图①，在正方形ABCD中，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，将 $△ A B P$ 沿直线AP翻折得到 $△ A E P$ ，点Q是CD的中点，连接BQ交AE于点F，若 $B Q ∥ P E$ .

(1)、求证： $△ A B F ∽ △ B Q C$ ；

(2)、求证： $B F = \frac{2}{3} F Q$ ；

(3)、如图②，连接DE交BQ于点G，连接EC，GC，若 $F Q = 6$ ，求 $△ G B C$ 的面积.

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17.

(1)、【问题探究】
如图①，在正方形 $A B C D$ 中，点E在边AD上，点F在边CD上，且 $A E = D F$ ，线段BE与AF相交于点G，GH是 $△ B F G$ 的中线．

①求证： $△ A B E ≌ △ D A F$ ；

②试判断线段BF与GH之间的数量关系，并说明理由．

(2)、【问题拓展】
如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 6$ ，点E在边AD上，点F在边CD上，且 $A E = 2$ ， $D F = 3$ ，线段BE与AF相交于点G，若GH是 $△ B F G$ 的中线，求线段GH的长．

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