黑龙江鹤岗市重点中学2022-2023学年高一下学期数学开学考试试卷

试卷更新日期：2023-02-17 类型：开学考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 1 ， 2 ， 4} ， B = {x | | x - 1 | \leq 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1 ， 2}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${1 ， 4}$ D、 ${- 1 ， 4}$

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2. 函数 $f (x) = \ln x + 3^{x - 1} - 6$ 的零点所在区间为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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3. 函数 $f (x) = \log_{2} (x^{2} - 1)$ 的单调递减区间为（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(- \infty ， - 1)$ C、 $(0 ， - 1)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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4. 函数 $y = (3^{x} - 3^{- x}) c o s x$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 若 $\tan θ = - 2$ ，则 $\frac{\sin θ (1 + \sin 2 θ)}{\sin θ + \cos θ} =$ （）

A、 $- \frac{6}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{6}{5}$

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6. 已知 $a = \log_{5} 2, b = \log_{8} 3, c = \frac{1}{2}$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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7. “ $a^{2} + b^{2} ⩽ 2$ ”是“ $a b \leq 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知小于2的正数x，y满足关系式 $\sqrt{x^{2} - 4 x + 5} = \sqrt{4 y^{2} + 1} + x + 2 y - 2$ ，则 $\frac{2}{x}$ + $\frac{1}{y}$ 的最小值为（　　　）

A、4 B、 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、 D、 $3 \sqrt{2}$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列四个等式中正确的是（）

A、 $\tan 25 ° + \tan 35 ° + \sqrt{3} \tan 25 ° \tan 35 ° = \sqrt{3}$ B、 $\frac{1}{\sin 10 °} - \frac{\sqrt{3}}{\cos 10 °} = 4$ C、已知函数 $f (x) = | \sin x | + \sqrt{3} | \cos x |$ ，则 $f (x)$ 的最小正周期是 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{\tan 15 °}{1 - \tan^{2} 15 °} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

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10. 将函数 $y = \cos 2 x$ 的图象向左平移 $φ$ （ $φ > 0$ ）个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 是奇函数，则 $φ$ 的可能取值为（）

A、 $\frac{5 π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $π$

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11. 已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < π$ ）的部分图象如图所示，将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到 $y = g (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 $φ = - \frac{π}{3}$ B、 $f (x - \frac{π}{6}) = f (- x)$ C、函数 $g (x)$ 为奇函数 D、函数 $g (x)$ 在区间 $(\frac{π}{3} ， \frac{3 π}{4})$ 上单调递减

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{| x - 2 |} ， x > 0 \\ - x^{2} - 2 x + 1 ， x \leq 0 \end{array}$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $y = f (x) - x$ 有3个零点 B、若函数 $y = f (x) - t$ 有四个零点，则 $t \in [1 ， 2]$ C、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = t$ 有四个不等实根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 2$ D、若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - 3 f (x) + α = 0$ 有8个不等实根，则 $α \in (2 ， \frac{9}{4})$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 已知扇形的弧长为 $\frac{4 π}{3}$ ，圆心角为 $\frac{π}{3}$ ，则该扇形的面积为．

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14. 已知 $\sin (α - \frac{π}{12}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (α + \frac{17 π}{12}) =$ ．

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15. 记函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的最小正周期为T，若 $f (T) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $x = \frac{π}{9}$ 为 $f (x)$ 的零点，则 $ω$ 的最小值为．

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16. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足：① $f (4 - x) = f (2 + x)$ ；②函数 $f (x + 1)$ 为偶函数；③当 $x \in [1 ， 3]$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} x - 1 ， 1 \leq x \leq 2 \\ x^{2} - 6 x + 9 ， 2 < x \leq 3 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的不等式 $m {log}_{2} | x - 1 | \leq f (x)$ 的整数解有且仅有6个，则实数 $m$ 的取值范围是．

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四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.

(1)、已知 $\tan x$ = $= \frac{2 \times 2}{1 - 2^{2}} = - \frac{4}{3}$ ，求 $\frac{\cos 2 x}{\sqrt{2} \cos (\frac{π}{4} + x) \cdot \sin x}$ 的值.

(2)、化简求值： $(2 \sqrt{3} \sin 70 ° - \tan 70 °) \sin 80 °$ ；

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin^{2} x + \sin x \cos x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得函数图象向下平移 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 的最小值及取得最小值时的x的取值集合.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{3^{x} + b}{3^{x} + 1}$ 是定义域为 $R$ 的奇函数.

(1)、求实数b的值；

(2)、已知当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{3^{x}}{k}$ ，求实数k的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = \cos^{2} x - 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - \sin^{2} x$ ．

(1)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求 $f (x)$ 的值域；

(2)、若 $f (θ) = \frac{6}{5}$ ，且 $- \frac{2 π}{3} < θ < - \frac{π}{6}$ ，求 $\cos 2 θ$ 的值；

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21. 已知 $f (x) = \log_{2} (4^{x} + 1) + a x$ 是偶函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、设 $g (x) = 2^{2 x} + 2^{- 2 x} + m \cdot 2^{f (x)}$ 的最小值为 $- 3$ ，则实数 $m$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ .

(1)、常数ω＞0，若函数y=f（ωx）的最小正周期是π，求ω的值.

(2)、若 $g (x) = \sqrt{2} f (x + \frac{π}{4})$ ，且方程 $g (2 x) + a g (x) - a g (\frac{π}{2} - x) - a - 1 = 0$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上有实数解，求实数α的取值范围.

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