人教版七年级下数学疑难点专题专练——5.3平行线判定及拐点问题

试卷更新日期：2023-02-17 类型：同步测试

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一、单选题

1. 如图，点D为 $△ A B C$ 的角平分线AE延长线上的一点，过点D作 $D F ⊥ B C$ 于点F，若 $∠ B = 80 °$ ， $∠ C = 50 °$ ，则 $∠ D$ 的度数是（）

A、 $10 °$ B、 $13 °$ C、 $15 °$ D、 $17 °$

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2. 如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使 $A B ∥ C D$ ，则 $∠ D E B$ 的度数是（）

A、 $1 5^{∘}$ B、 $2 0^{∘}$ C、 $6 5^{∘}$ D、 $9 5^{∘}$

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3. 如图所示， $A B ∥ C D$ ， $E C ⊥ C D$ ，若 $∠ B E C = 30 °$ ，则 $∠ A B E$ 的度数为（　　）

A、100° B、110° C、120° D、130°

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4. 如图，若 $A B ∥ C D$ ， $∠ 1 = 70 °$ ， $∠ 2 = 140 °$ ，则 $∠ 3$ 的度数是（）

A、25° B、30° C、36° D、38°

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5. 把长方形纸片MNPQ沿AC，AB折叠成如图所示，AM的对应线段 $A M^{'}$ 落在AC上，若∠NAC＝38°，则 $∠ A B Q^{'}$ 的度数为（）

A、109° B、110° C、115° D、100°

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6. 如图， $△$ ABC的角平分线CD，BE相交于点F，∠BAC＝∠AGB，AG $∥$ BC，下列结论中不一定成立的是（）

A、∠BAG＝2∠CBE B、 $∠ E F C = 90 ° - \frac{1}{2} ∠ B A C$ C、∠AEB＝∠GBE D、∠ADC＝∠AEB

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二、填空题

7. 如图，已知AB∥EG，BC∥DE，CD∥EF，则x、y、z三者之间的关系是．

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8. 如图， $A B ∥ C D$ ， $B F$ 、 $D F$ 分别平分 $∠ A B E$ 和 $∠ C D E$ ， $B F ∥ D E$ ， $∠ F$ 与 $∠ A B E$ 互补，则 $∠ F$ 的度数为 $°$ .

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9. 如图，AB∥CD，CF平分∠DCG，GE平分∠CGB交FC的延长线于点E，若∠E＝34°，则∠B的度数为．

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10. 如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F=33°，则∠E= ．

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11. 如图， $A B / / C D$ ，点E在AB上方，点F在AB，CD之间，AB平分∠EAF，CF平分∠ECD，EC交线段AB于点G．若 $∠ F - \frac{1}{2} ∠ E = 72 °$ ，则∠EAF的度数为．

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12. 如图， $A C$ // $B D$ ， EP、FP分别平分 $∠ A E F$ 、 $∠ E F B$ ，若 $∠ A = m ° ， ∠ B = n °$ ，则 $∠ P =$ °．（用含m，n的代数式表示）

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13. 生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示， $B A$ 垂直于地面 $A E$ 于 $A$ ， $C D$ 平行于地面 $A E$ ，则 $∠ A B C + ∠ B C D =$ $° .$

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三、解答题

14. 如图，点P为∠AOB的角平分线OC上的一点，过点P作PM∥OB交OA于点M，过点P作PN⊥OB于点N．当∠AOB＝60°时，求∠OPN的度数．
解：∵PN⊥OB于点N，
∴∠PNB＝            ▲       °（      ）（填推理的依据）．
∵PM∥OB，
∴∠MPN＝∠PNB＝90°，
∠POB＝            ▲       （      ）（填推理的依据）．
∵OP平分∠AOB，且∠AOB＝60°，
∴∠POB＝ $\frac{1}{2}$ ∠AOB＝30°（角的平分线的定义）．
∴∠MPO＝            ▲       °．
∵∠MPO+∠OPN＝∠MPN，
∴∠OPN＝            ▲       °．

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15. 如图所示，在△ABC中，E，G分别是BC，AC上的点，D，F是AB上的点，已知EF⊥AB，垂足为F，CD⊥AB，垂足为D，∠1＝∠2，试判断∠AGD和∠ACB是否相等，为什么？

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16. 请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
已知：如图， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ B + ∠ C D E = 18 0^{°}$ ．
求证： $A B ∥ C D$ ．
证明：∵ $∠ 1 =$       ▲      （                 ），
又∵ $∠ 1 = ∠ 2$ ，
∴▲       $= ∠ 2$ （等量代换）．
∴ $B C$ ∥▲（                 ）．
∴ $∠ C +$       ▲       $= 180 °$ （                 ）．
又∵ $∠ B + ∠ C D E = 180 °$ ，
∴ $∠ B = ∠ C$ ．
∴ $A B ∥ C D$ （                 ）．

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17. 完成下面的说理过程：（不用抄题，直接将所填内容写到答题卡上即可）
已知：如图，点E在线段 $B A$ 的延长线上，点F在线段 $D C$ 的延长线上，连接E， $F$ ， $∠ 1 + ∠ 3 = 180 °$ ， $∠ B = ∠ D$ ．
求证： $∠ E = ∠ F$ ．
证明：因为 $∠ 1 = ∠ 2$ （                  ▲                  ），
又因为 $∠ 1 + ∠ 3 = 180 °$ （已知），
所以 $∠ 2 + ∠ 3 = 180 °$ （等量代换），
所以 $A D ∥ B C$ （同旁内角互补，两直线平行），
所以 $∠ D = ∠ B C F$ （                  ▲                  ），
因为 $∠ B = ∠ D$ （已知），
所以 $∠ B = ∠ B C F$ （等量代换），
所以 $B E ∥ D F$ （                  ▲                  ），
所以 $∠ E = ∠ F$ （                  ▲                  ）．

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四、综合题

18. 在 $△ A B C$ 中，射线 $A G$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点 $G$ ，点 $D$ 在直线 $B C$ 上运动（不与点 $G$ 重合），过点 $D$ 作 $D E / / A C$ 交直线 $A B$ 于点 $E$ ．

(1)、如图1，点 $D$ 在线段 $C G$ 上运动时， $D F$ 平分 $∠ E D B$ ，
①若 $∠ B A C = 100 °$ ， $∠ C = 30 °$ ，则 $∠ A F D =$ ▲ ；
②若 $∠ B = 40 °$ ，则 $∠ A F D =$ ▲ ；
③探究 $∠ A F D$ 与 $∠ B$ 之间的数量关系，说明理由；

(2)、若点 $D$ 在射线 $G B$ 上运动时， $∠ B D E$ 的角平分线所在直线与射线 $A G$ 交于点 $F$ ， $∠ A F D$ 与 $∠ A B C$ 之间的数量关系是否与（1）中③相同，若不同请写出新的关系并画图说明理由．

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19. 在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板 $G E F$ 的顶点G放置在直线 $A B$ 上，旋转三角板．

(1)、如图1，在 $G E$ 边上任取一点P（不同于点G，E），过点P作 $C D ∥ A B$ ，若 $∠ 1 = 27 °$ ，求 $∠ 2$ 的度数；

(2)、如图2，过点E作 $C D ∥ A B$ ，请探索并说明 $∠ A G F$ 与 $∠ C E F$ 之间的数量关系；

(3)、将三角板绕顶点G转动，过点E作 $C D ∥ A B$ ，并保持点E在直线 $A B$ 的上方．在旋转过程中，探索 $∠ A G F$ 与 $∠ C E F$ 之间的数量关系，并说明理由．

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20. 如图①，已知AD∥BC，∠B=∠D=120°．

(1)、请问：AB与CD平行吗？为什么？

(2)、若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数．

(3)、若点E在直线CD上，且满足∠EAC= $\frac{1}{2}$ ∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出符合题意图形，并解答）．

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21. 如图：

(1)、如图1，∠CEF=90°，点B在射线EF上，若∠ABF=50°，∠C=40° ，试判断AB、CD的位置关系，并说明理由；

(2)、如图2，∠CEF=120° ，点B在射线EF上，且 $A B ∥ C D$ ．则∠ABE与∠C的数量关系为：

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22. 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．

(1)、如图1，若 $A B ∥ C D$ ，点 $P$ 在 $A B$ 、 $C D$ 内部，如图1， $∠ B P D$ 、 $∠ B$ 、 $∠ D$ 之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．
小红：过点 $P$ 作 $P H ∥ A B$ ，如图2
∵ $A B ∥ C D$ （已知）
∴ $A B ∥ P H ∥ C D$ （      ）
∴            ▲        ，             ▲       （两直线平行，内错角相等）
∵ $∠ B P D = ∠ B P H + ∠ D P H$ （已知）
∴ $∠ B P D =$             ▲       （等量代换）
请把小红的证明过程补充完整；

(2)、小明：延长线段 $D P$ 交 $A B$ 于点 $H$ ，根据平行线性质和三角形的相关知识得到三个角的关系，如图3，按小明的思路给出证明过程；

(3)、在图4中， $A B$ 与 $C D$ 相交，但由于纸张大小的原因，无法直接测量 $A B$ 、 $C D$ 的夹角大小．小亮测得 $∠ P B D = \frac{1}{3} ∠ A B D$ ， $∠ P D B = \frac{1}{3} ∠ C D B$ ， $∠ B P D = 12 1^{°}$ ．请通过计算及说理求 $A B$ 与 $C D$ 所夹锐角度数．

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23. 问题：已知线段AB∥CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．

(1)、端点A、C同向：
如图1，点P在直线AC右侧时，∠APC﹣（∠A+∠C）＝度；
如图2，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）＝度；

(2)、端点A、C反向：
如图3，点P在直线AC右侧时，∠APC与∠A﹣∠C有怎样的等量关系？写出结论并证明；
如图4，点P在直线AC左侧时，∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝ ▲ 度．

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24. 已知：如图，直线 $P Q ∥ M N$ ，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点.

(1)、若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1∠2之间的数量关系.

(2)、若小明把一块三角板（∠A=30°，∠C=90°）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若∠AEN=∠A，求∠BDF的度数.

(3)、将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连结EG，且有∠CEG=∠CEM，给出下列两个结论：
① $\frac{∠ G E N}{∠ B D F}$ 的值不变；
②∠GEN－∠BDF的值不变.
其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？讲求出不变的值是多少.

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25. 如图1，点E、F分别在直线AB、CD上，点P为AB、CD之间的一点，且 $∠ A E P + ∠ E P F + ∠ P F C = 360 °$ ．

(1)、求证： $A B ∥ C D$ ；

(2)、如图2，点G在射线FC上，PG平分 $∠ E G F$ ， $∠ P F D = ∠ P E G$ ，探究 $∠ E P F$ 与 $∠ P G F$ 之间的数量关系．并说明理由；

(3)、如图3， $∠ B E M = 2 ∠ P E M$ ， $∠ C F N = 2 ∠ P F N$ ．直线HQ分别交FN，EM于H、Q两点，若 $∠ E P F = 150 °$ ，求 $∠ F H Q - ∠ H Q E$ 的度数．

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26. 七年级同学解决平行线问题时，遇到这样的问题，请你帮忙解决：已知AB∥CD，

(1)、如图1，猜想∠AEC，∠BAE，∠DCE之间有什么数量关系不必说明理由；

(2)、如图2，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD=40°，∠ABC=50°，求∠BED的度数；

(3)、将图（2）中的线段BC沿DC所在的直线平移，使得点B在点A的右侧，∠FAD=m°，∠ABC=n°，其他条件不变，得到图3，请直接写出∠BED的度数（用含m，n的式子表示）．

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27. 已知AB∥CD，点E在射线BC上，连接AE，DE，设∠BAE＝α，∠CDE＝β．

(1)、如图1，当点E在线段BC上时，∠AED＝（用含α，β的式子表示）；

(2)、如图2，当点E在线段BC的延长线上时．
①判断∠AED与α，β的数量关系，并说明理由；
②若M为平面内一动点，且MA∥ED，请直接写出∠MAB与β的数量关系．

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28.

(1)、问题情境：如图1， $A B ∥ C D$ ， $∠ P M B = 140 °$ ， $∠ P N D = 120 °$ ，求 $∠ M P N$ 的度数；

(2)、问题迁移：在（1）的条件下，如图2， $∠ A M P$ 的角平分线与 $∠ C N P$ 的角平分线交于点F，则 $∠ M F N$ 的度数为多少？请说明理由；

(3)、问题拓展：如图3， $A B ∥ C D$ ，点P在射线 $O M$ 上移动时（点P与点O，M，D三点不重合），记 $∠ P A B = α$ ， $∠ P C D = β$ ，请直接写出 $∠ A P C$ 与 $α$ ， $β$ 之间的数量关系．

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