陕西省咸阳市武功县2022-2023学年高三上学期理数第二次质量检测试卷

试卷更新日期：2023-02-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，集合M满足 $∁_{U} M = {1 ， 3 ， 5}$ ，则（）

A、2M B、 $3 \in M$ C、 $4 \in M$ D、6M

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，且复数 $z$ 满足 $z (1 + 2 i) = | 3 - 4 i |$ ，则复数 $z =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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3. 下列函数中是奇函数，且最小正周期是 $π$ 的函数是（）

A、 $y = c o s | 2 x |$ B、 $y = s i n x$ C、 $y = s i n (2 x + \frac{π}{2})$ D、 $y = c o s (2 x - \frac{3 π}{2})$

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4. 已知直线l与平面 $α$ 相交，则下列命题中，正确的个数为（）
①平面 $α$ 内的所有直线均与直线l异面；
②平面 $α$ 内存在与直线l垂直的直线；
③平面 $α$ 内不存在直线与直线l平行；
④平面 $α$ 内所有直线均与直线l相交.

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，则 $l o g_{a} b > 0$ 是 $(a - 1) (b - 1) > 0$ 的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 下图中的函数图象所对应的解析式可能是（）

A、 $y = - \frac{1}{2^{| x - 1 |}}$ B、 $y = - | \frac{1}{2^{x}} - 1 |$ C、 $y = - 2^{| x - 1 |}$ D、 $y = - | 2^{x} - 1 |$

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7. 《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著.该书记述了我国古代 $14$ 种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等 $5$ 种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有（）种.

A、 $108$ B、 $136$ C、 $126$ D、 $240$

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8. 某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内高三年级在校学生中抽取100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如下频率直方图.根据此频率直方图，下列结论中不正确的是（）

A、所抽取的学生中有25人在2小时至 $2.5$ 小时之间完成作业 B、该地高三年级学生完成作业的时间超过3小时的概率估计为 $35 %$ C、估计该地高三年级学生的平均做作业的时间超过 $2.7$ 小时 D、估计该地高三年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间

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9. 2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空， $582$ 秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度 $v$ 满足公式： $v = w \ln (1 + \frac{M}{m})$ ，其中 $M$ 为火箭推进剂质量， $m$ 为去除推进剂后的火箭有效载荷质量， $w$ 为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当 $M = 3 m$ 时， $v = 5.544$ 千米/秒．在保持 $w$ 不变的情况下，若 $m = 25$ 吨，假设要使 $v$ 超过第一宇宙速度达到 $8$ 千米/秒，则 $M$ 至少约为（结果精确到1，参考数据： $e^{2} \approx 7.389$ ， $\ln 2 \approx 0.693$ ）（）

A、135吨 B、160吨 C、185吨 D、210吨

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} \cdot a_{n + 1} = 2^{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $a_{2} = 2$ B、 $a_{4} - a_{3} = 2$ C、 ${a_{2 n}}$ 是等比数列 D、 $a_{2 n - 1} + a_{2 n} = 2^{n + 1}$

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点A，B是椭圆C的长轴顶点，直线 $x = m (- a < m < a)$ 与椭圆C交于P，Q两点，记 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 分别为直线AP和直线BQ的斜率，则 $| k_{1} + 4 k_{2} |$ 的最小值为（）．

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + b$ ，且 $f (x) + f (- x) = 4$ 恒成立，若 $h (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， x \leq a \\ 2 - 6 x ， x > a \end{array}$ 恰好有1个零点，则实数 $a$ 的范围为（）

A、 $(- \infty ， - 2)$ B、 $[\frac{1}{3} ， 1]$ C、 $(- \infty ， - 2) \cup [\frac{1}{3} ， 1)$ D、 $[- 2 ， \frac{1}{3})$

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二、填空题

13. 已知等差数列 ${a_{n}}$ （ $n \in N^{*}$ ）满足 $a_{3} + a_{7} = {a_{5}}^{2} + 1$ ，则 $a_{5} =$ .

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 8$ ， $A C = 6$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{A D} \cdot \vec{B D} =$ ．

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15. 写出与圆 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 8$ 和圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 8$ 都相切的一条直线的方程；．

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16. 在三棱锥 $D - A B C$ 中， $A B = A D = 2$ ， $B D = C B = C D = 2 \sqrt{2}$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $D - A B C$ 外接球的表面积是．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中， $c o s A = \frac{7}{8}$ ， $c = 3$ ，且 $s i n B = 2 s i n A$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若 $b \neq c$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的渐近线的距离为1.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若抛物线 $C$ 上一点A到 $F$ 的距离是4，求A的坐标.

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19. 为丰富学生的校园生活，提升学生的实践能力和综合素质能力，培养学生的兴趣爱好，某校计划借课后托管服务平台开设书法兴趣班．为了解学生对这个兴趣班的喜欢情况，该校随机抽取了本校100名学生，调查他们对这个兴趣班的喜欢情况，得到数据如下：

喜爱
不喜爱
合计
男
40
20
60
女
30
10
40
合计
70
30
100
以调查得到的男、女学生喜欢书法兴趣班的频率代替概率．

(1)、从该校随机抽取1名男学生和1名女学生，求这2名学生中恰有1人喜欢书法兴趣班的概率；

(2)、从该校随机抽取4名女学生，记X为喜欢书法兴趣班的女生人数，求X的分布列与期望．

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20. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱长为 $3 ， △ A B C$ 是边长为2的正三角形， $D ， E$ 分别是 $A B ， B C$ 的中点.

(1)、求证：面 $A E B_{1} ⊥$ 面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、求平面 $A E B_{1}$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 的夹角的余弦值.

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21. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = a e^{x} - l n (a x + a)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、证明： $f (x) \geq 1$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{2} c o s φ \\ y = s i n φ \end{array}$ （其中 $φ$ 为参数），曲线 $C_{2} ： x^{2} - 2 x + y^{2} = 0$ ，以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 $l ： θ = α (ρ \geq 0)$ 与曲线 $C_{1}$ 在 $x$ 轴上方交于点 $A$ ，与曲线 $C_{2}$ 交于点 $B$ （异于原点 $O$ ）.

(1)、求曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、当 $α = \frac{π}{3}$ 时，求 $| A B |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - a | + | x + 3 |$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 6$ 的解集；

(2)、若 $f (x) > - a$ ，求a的取值范围．

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	喜爱	不喜爱	合计
男	40	20	60
女	30	10	40
合计	70	30	100