广西柳州市2023届高三理数第二次模拟考试试卷

试卷更新日期：2023-02-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 1$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{5}{2}$

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2. 若集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2}$ ，则 $A \cup B$ 的子集有（）

A、4个 B、8个 C、16个 D、32个

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3. 在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A C$ 上， $D C = 2 D A$ ，记 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B D} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{b} - \vec{a}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{b} + \vec{a}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{b} - \vec{a}$

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4. 下列说法正确的是（）

A、在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 B、某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学 C、数据2，3，4，5的方差是数据4，6，8，10的方差的一半 D、在回归直线方程 $\hat{y} = 0.1 x + 10$ ，当解释变量每增加1个单位时，预报变量多增加0.1个单位

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5. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \leq 2 ， \\ x + y \geq 1 ， \\ x - 2 y \geq 0 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x + y$ 的最小值是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、3 D、5

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6. 如图， $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 是一个正三棱台，而且下底面边长为6，上底面边长和侧棱长都为3，则棱台的高为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{3}$

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7. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < π)$ ，其图象相邻两条对称轴的距离为 $\frac{π}{2}$ ，且对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x) \geq f (\frac{7 π}{12})$ ，则在下列区间中， $f (x)$ 为单调递减函数的是（）

A、 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ B、 $[0 ， \frac{7 π}{12}]$ C、 $[\frac{π}{12} ， \frac{7 π}{12}]$ D、 $[\frac{7 π}{12} ， π]$

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8. 已知函数 $f (x) = c o s x$ ， $g (x) = \frac{6 x}{x^{2} + 1}$ ，若函数 $h (x)$ 在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 上的大致图象如图所示，则 $h (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $h (x) = f (x) + g (x)$ B、 $h (x) = f (x) - g (x)$ C、 $h (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ D、 $h (x) = f (x) g (x)$

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9. “阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”.若该多面体的棱长为2，则其外接球的表面积为（）

A、 $16 π$ B、 $8 π$ C、 $\frac{16 π}{3}$ D、 $\frac{32 π}{3}$

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10. 已知椭圆C的焦点为 $F_{1} (0 ， - 1) ， F_{2} (0 ， 1)$ ，过 $F_{2}$ 的直线与C交于P，Q两点，若 $| P F_{2} | = 3 | F_{2} Q | ， | P Q | = \frac{4}{5} | Q F_{1} |$ ，则椭圆C的标准方程为（）

A、 $\frac{5 x^{2}}{2} + \frac{5 y^{2}}{3} = 1$ B、 $x^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$

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11. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $(a + b) (s i n A - s i n B) = c (s i n C + s i n B)$ ，若角A的内角平分线 $A D$ 的长为3，则 $4 b + c$ 的最小值为（）

A、21 B、24 C、27 D、36

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12. 设函数 $f (x) = \sqrt{e^{x} + (e - 1) x - a}$ （ $a \in R$ ， $e$ 为自然对数的底数），若曲线 $y = s i n x$ 上存在点 $(x_{0} ， y_{0})$ 使 $f (y_{0}) = y_{0}$ 成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， 2 e - 2]$ B、 $[e^{- 1} - e ， 1]$ C、 $[1 ， e]$ D、 $[e^{- 1} - e ， 2 e - 2]$

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二、填空题

13. ${(3 x^{2} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{5}$ 的展开式中常数项是．（用数字作答）

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14. 若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，则圆锥的侧面积是.（结果用含 $π$ 的式子表示）

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15. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的一条渐近线与曲线 $x = \sqrt{1 - (y - 1)^{2}}$ 交于M、N两个不同的点，则 $| M N | =$ ．

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16. ① $0 . 3^{5} > l o g_{3} 5$ ， ② $l n \sqrt{2} < \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， ③ $e^{\frac{2}{3}} > 2$ ， ④ $2 l n (s i n \frac{1}{8} + c o s \frac{1}{8}) < \frac{1}{4}$ ，上述不等式正确的有（填序号）

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三、解答题

17. 第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京举办，为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了10名学生，得到他们的分数统计如下表：
分数段
$[30 ， 40)$
$[40 ， 50)$
$[50 ， 60)$
$[60 ， 70)$
$[70 ， 80)$
$[80 ， 90)$
$[90 ， 100]$
人数
1
1
1
3
2
1
1
规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀．将频率视为概率．

(1)、此次比赛中该校学生成绩的优秀率是多少？

(2)、从全校学生中随机抽取2人，以X表示这2人中成绩良好和优秀的人数之和，求X的分布列和数学期望．

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18. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} = 1 + \frac{1}{2 n - 9} (n \in N^{*} ， a \in R ， a \neq 0)$ ，它的最大项和最小项的值分别是等比数列 ${b_{n}}$ 中的 $b_{2} - 1$ 和 $b_{3} - 9$ 的值.

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知数列 ${c_{n}} ， c_{n} = b_{n} \cdot l o g_{3} (b_{n})$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $M_{n}$ .

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19. 某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边 $A B 、 C D 、 A D$ 的中点，先沿着虚线段 $F G$ 将等腰直角三角形 $F D G$ 裁掉，再将剩下的五边形 $A B C F G$ 沿着线段EF折起，连接 $A B 、 C G$ 就得到了一个“刍甍” (如图2)。

(1)、若O是四边形 $E B C F$ 对角线的交点，求证： $A O / /$ 平面 $G C F$ ；

(2)、若二面角 $A - E F - B$ 的大小为 $\frac{2}{3} π ，$ 求平面 $O A B$ 与平面 $A B E$ 夹角的余弦值.

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20. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y$ 经过点 $P (- 2 ， 1)$ ，过点 $Q (- 1 ， 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 有两个不同交点 $A ， B$ ，且直线 $P A$ 交 $x$ 轴于 $M$ ，直线 $P B$ 交 $x$ 轴于 $N$ .

(1)、求直线 $l$ 斜率的取值范围；

(2)、证明：存在定点 $T$ ，使得 $\vec{Q M} = λ \vec{Q T}$ ， $\vec{Q N} = μ \vec{Q T}$ 且 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ} = 4$ .

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21. 已知 $f (x) = x^{2} + 2 a x - 2 (a x + 1) l n x$ ，记 $f (x)$ 的导函数为 $g (x)$ ．

(1)、讨论 $g (x)$ 的单调性；

(2)、若 $g (x)$ 有三个零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，证明： $x_{1} + x_{2} + x_{3} > 3 (a - 1)$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1} ： {\begin{array}{l} x = c o s φ \\ y = - 1 + s i n φ \end{array}$ （ $φ$ 为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 c o s θ$ ．

(1)、写出曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程，曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、设点M的极坐标为 $M (2 ， 0)$ ，射线 $θ = α (- \frac{π}{4} < α < 0 ， ρ \geq 0)$ 与曲线 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 分别交于A、B两点（异于极点），当 $∠ A M B = \frac{π}{4}$ 时，求线段 $A B$ 的长．

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23. 设函数 $f (x) = 3 | x - 2 | + | x |$ .

(1)、求不等式 $f (x) > 2 x$ 的解集；

(2)、求直线 $y = a$ 与 $f (x)$ 的图象围成的三角形的面积的最大值.

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分数段	$[30 ， 40)$	$[40 ， 50)$	$[50 ， 60)$	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80)$	$[80 ， 90)$	$[90 ， 100]$
人数	1	1	1	3	2	1	1