广东省惠州市2023届高三数学第三次调研试卷

试卷更新日期：2023-02-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {1 ， \frac{1}{x}}$ ，且 $B ⊆ A$ ，则实数 $x =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{1}{2}$ 或1 D、0

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2. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4}$ ， $a_{2019}$ 是方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 的两个根，则 ${a_{n}}$ 的前2022项和为（）

A、1011 B、2022 C、4044 D、8088

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3. “ $m > 2$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{2 - m} + \frac{y^{2}}{m + 1} = 1$ 表示双曲线”的（）条件

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知实数 $a > b > 0 > c$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $\frac{a}{b} > \frac{a}{c}$ B、 ${(\frac{1}{2})}^{a} > {(\frac{1}{2})}^{c}$ C、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{c}$ D、 $a^{2} > c^{2}$

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5. 已知互不重合的三个平面α、β、γ，其中 $α \cap β = a$ ， $β ∩ γ = b$ ， $γ ∩ α = c$ ，且 $a ∩ b = P$ ，则下列结论一定成立的是（）

A、b与c是异面直线 B、a与c没有公共点 C、 $b / / c$ D、 $b ∩ c = P$

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6. 若函数 $f (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在R上为减函数，则函数 $y = l o g_{a} (| x | - 1)$ 的图像可以是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 在“2，3，5，7，11，13”这6个素数中，任取2个不同的数，这两数之和仍为素数的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 已知 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $a x < s i n x < b x$ 恒成立，则 $b - a$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{2} - 1$ D、 $1 - \frac{2}{π}$

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二、多选题

9. 已知复数 $z = \frac{- 1 + i}{i}$ ，则下列选项正确的是（）

A、z的虚部为1 B、 $| z | = 2$ C、 $z^{2}$ 为纯虚数 D、 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于第一象限

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10. 在某市高二举行的一次期中考试中，某学科共有2000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为 $n$ .按照 $[50 ， 60) ， [60 ， 70) ， [70 ， 80) [80 ， 90) ， [90 ， 100]$ 的分组作出频率分布直方图，如图所示.其中，成绩落在区间 $[50 ， 60)$ 内的人数为16.则下列结论正确的有（）

A、样本容量 $n = 1000$ B、图中 $x = 0.030$ C、估计该市全体学生成绩的平均分为 $70.6$ 分 D、该市要对成绩由高到低前 $20 %$ 的学生授予“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号

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11. 已知函数 $f (x) = 3^{x} - 2^{x}$ ， $x \in R$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增 B、存在 $a \in R$ ，使得函数 $y = \frac{f (x)}{a^{x}}$ 为奇函数 C、任意 $x \in R$ ， $f (x) > - 1$ D、函数 $g (x) = f (x) + x$ 有且仅有2个零点

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12. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点，点 $A$ 在椭圆上，直线 $l ： b x + a y - a^{2} - b^{2} = 0$ ，则（）

A、直线 $l$ 与蒙日圆相切 B、 $C$ 的蒙日圆的方程为 $x^{2} + y^{2} = 2 a^{2}$ C、记点 $A$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ ，则 $d - | A F_{2} |$ 的最小值为 $\frac{(4 \sqrt{3} - 6 \sqrt{2}) b}{3}$ D、若矩形 $M N G H$ 的四条边均与 $C$ 相切，则矩形 $M N G H$ 的面积的最大值为 $8 b^{2}$

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三、填空题

13. 已知平面向量 $\vec{a} = (- 2 ， 4)$ ， $\vec{b} = (λ ， 1)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则实数 $λ =$ ．

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14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $θ$ 的终边经过点 $(1 ， 2)$ ，则 $c o s^{2} θ + s i n 2 θ =$ ．

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15. 在圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y = 0$ 内，过点 $E (0 ， 3)$ 的最长弦和最短弦分别为 $A C$ 和 $B D$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为．

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16. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率 $K = \frac{| f^{″} (x) |}{{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}}^{\frac{3}{2}}}$ ，则曲线 $f (x) = \sqrt{x}$ 在（1，1）处的曲率为；正弦曲线 $g (x) = s i n x$ （x∈R）曲率的平方 $K^{2}$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 1$ ．

(1)、求证：数列 ${a_{n} - 1}$ 是等比数列；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} + n$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 条件① $a c o s B = c + \frac{1}{2} b$ ，
条件② $\frac{s i n A - s i n C}{b} = \frac{s i n B + s i n C}{a + c}$ ，
条件③ $\sqrt{3} b s i n \frac{B + C}{2} = a s i n B$ ．
请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且满足____，

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $A D$ 是 $∠ B A C$ 的角平分线，且 $A D = 1$ ，求 $2 b + c$ 的最小值．

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19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形， $P A ⊥$ 底面ABCD， $P A = A B = 2$ ， E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．

(1)、证明：平面 $A E F ⊥$ 平面PBC；

(2)、若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，求点P到平面AEF的距离．

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20. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：

m^{2}

）和材积量（单位：

m^{3}

），得到如下数据：

样本号i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	总和
根部横截面积 $x_{i}$	0.04	0.06	0.04	0.08	0.08	0.05	0.05	0.07	0.07	0.06	0.6
材积量 $y_{i}$	0.25	0.40	0.22	0.54	0.51	0.34	0.36	0.46	0.42	0.40	3.9

并计算得 $\sum_{i=1}^{10} x_{i}^{2} = 0.038 ， \sum_{i=1}^{10} y_{i}^{2} = 1.6158 ， \sum_{i=1}^{10} x_{i} y_{i} = 0.2474$ ．

附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i =1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i =1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i =1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}} ， \sqrt{1.896} \approx 1.377$ ．

(1)、估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

(2)、求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

(3)、现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为

{186m}^{2}

．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．

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21. 已知函数 $f (x) = 2 x - a l n x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x) \geq (a + 2) x - x e^{x}$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $A (- 2 ， 0)$ 在椭圆上且 $| A F | = 3$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、点 $P 、 Q$ 分别在椭圆 $C$ 和直线 $x = 4$ 上， $O Q ∥ A P$ ， $M$ 为 $A P$ 的中点，若 $T$ 为直线 $O M$ 与直线 $Q F$ 的交点．是否存在一个确定的曲线，使得 $T$ 始终在该曲线上？若存在，求出该曲线的轨迹方程；若不存在，请说明理由．

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