广东省广州市天河区2023届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2023-02-16 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | e^{x} < 1 ， x \in R}$ ， $B = {x | x^{2} - x - 2 < 0 ， x \in R}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- \infty ， 2)$ C、 $(- 2 ， 0)$ D、 $(- 1 ， 2)$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (x_{1} ， y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2} ， y_{2})$ ，则“ $\frac{x_{1}}{y_{1}} = \frac{x_{2}}{y_{2}}$ ”是“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 若 $(x - a) {(1 - 3 x)}^{3}$ 的展开式的各项系数和为8，则 $a =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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4. 已知随机变量 $X$ 的分布列如下：
$X$
1
2
$P$
$m$
$n$
若 $E (X) = \frac{5}{3}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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5. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称，且 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{5 π}{48})$ 上单调，则 $ω$ 的取值集合为（）

A、 ${2}$ B、 ${8}$ C、 ${2 ， 8}$ D、 ${2 ， 8 ， 14}$

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6. 若函数 $f (x) = x c o s x$ 在区间 $[l n a ， l n \frac{1}{a}]$ 上的最小值为 $m$ ，最大值为 $M$ ，则下列结论正确的为（）

A、 $m + M = 0$ B、 $m M = 0$ C、 $m M = 1$ D、 $m + M = 1$

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 $| C D | = \sqrt{2} | A B |$ ．则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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8. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + b$ ，且 $f (x) + f (- x) = 4$ 恒成立，若 $h (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， x \leq a \\ 2 - 6 x ， x > a \end{array}$ 恰好有1个零点，则实数 $a$ 的范围为（）

A、 $(- \infty ， - 2)$ B、 $[\frac{1}{3} ， 1]$ C、 $(- \infty ， - 2) \cup [\frac{1}{3} ， 1)$ D、 $[- 2 ， \frac{1}{3})$

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二、多选题

9. 设复数 $z_{1} = 2 - i$ ， $z_{2} = 2 i$ （i为虚数单位），则下列结论正确的为（）

A、 $z_{2}$ 是纯虚数 B、 $z_{1} - z_{2}$ 对应的点位于第二象限 C、 $| z_{1} + z_{2} | = 3$ D、 $\bar{z_{1}} = 2 + i$

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10. 下列等式能够成立的为（）

A、 $s i n 15 ° c o s 15 ° = \frac{1}{2}$ B、 $s i n 75 ° c o s 15 ° + c o s 75 ° s i n 15 ° = 1$ C、 $c o s 105 ° c o s 75 ° - s i n 105 ° c o s 15 ° = - 1$ D、 $\sqrt{3} s i n 15 ° + c o s 15 ° = 1$

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11. 已知圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} + 6 x + 8 y = 0$ ，则（）

A、圆 $M$ 关于直线 $x - y + 1 = 0$ 对称 B、圆 $M$ 被直线 $x - y + 3 = 0$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{17}$ C、圆 $M$ 关于直线 $x - y + 1 = 0$ 对称的圆为 $x^{2} + y^{2} + 10 x + 4 y + 4 = 0$ D、若点 $P (a ， b)$ 在圆 $M$ 上，则 $\sqrt{{(a - 3)}^{2} + {(b - 4)}^{2}}$ 的最小值为5

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12. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，若点 $M$ 在线段 $B C_{1}$ 上运动，则下列结论正确的为（）

A、直线 $A_{1} M$ 可能与平面 $A C D_{1}$ 相交 B、三棱锥 $A - M C D$ 与三棱锥 $D_{1} - M C D$ 的体积之和为定值 C、当 $C M ⊥ M D_{1}$ 时， $C M$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角最大 D、当 $△ A M C$ 的周长最小时，三棱锥 $M - C B_{1} D_{1}$ 的外接球表面积为 $16 π$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = 2 x e^{x}$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线方程为

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14. 现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有种．（用数字作答）

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15. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法为：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，将图①，图②，图③，图④中的图形周长依次记为 $C_{1} ， C_{2} ， C_{3} ， C_{4}$ ，则 $\frac{C_{1} C_{5}}{C_{2}} =$ ．

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16. 在等腰梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B / / C D$ ， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，动点E和F分别在线段 $B C$ 和 $D C$ 上，且 $\vec{B E} = λ \vec{B C}$ ， $\vec{D F} = \frac{1}{9 λ} \vec{D C}$ ，当 $λ =$ 时，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 有最小值为．

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四、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2 (n \in N *)$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{l o g_{2} a_{n} \cdot l o g_{2} a_{n + 1}}$ ，记 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 1$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $b s i n \frac{B + C}{2} = a s i n B$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若角 $A$ 的平分线交 $B C$ 于 $D$ 且 $A D = 2$ ，求 $a$ 的最小值.

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19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中点， $P A = P D$ ， $A B = 2$ ， $∠ A B C = 60 °$ .

(1)、证明： $P B / /$ 平面EAC.

(2)、若四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$ ，求直线EC与平面PAB所成角的正弦值.

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20. 某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐”的收费标准互不相同，得到的统计数据如下表，x为收费标准（单位：元/日），t为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图．
x
100
150
200
300
450
t
90
65
45
30
20
参考数据： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \cdot \bar{x}$ ， $\bar{x} = 240$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 365000$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 457.5$ ， $\bar{z} \approx 5.35$ ， ${\bar{z}}^{2} \approx 28.57$ ， $\sum_{i = 1}^{5} z_{i}^{2} \approx 144.24$ ， $\sum_{i = 1}^{5} z_{i} y_{i} \approx 12.72$ ， $e^{5} \approx 150$ ， $e^{5.4} \approx 220$ ．

(1)、若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记 $ξ$ 为“入住率”超过0.6的农家乐的个数，求 $ξ$ 的概率分布列；

(2)、令 $z = l n x$ ，由散点图判断 $\hat{y} = \hat{b} x + a$ 与 $\hat{y} = \hat{b} z + a$ 哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程；（ $\hat{a}$ ， $\hat{b}$ 的结果精确到0.1）

(3)、根据第（2）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大？（100天销售额L＝100×入住率×收费标准x）

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21. 已知直线 $l$ 与抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且与 $x$ 轴交于点 $M (a ， 0) (a > 0)$ ，过点 $A$ ， $B$ 分别作直线 $l_{1} ： x = - a$ 的垂线，垂足依次为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ，动点 $N$ 在 $l_{1}$ 上.

(1)、当 $a = 1$ ，且 $N$ 为线段 $A_{1} B_{1}$ 的中点时，证明： $A N ⊥ B N$ ；

(2)、记直线 $N A$ ， $N B$ ， $N M$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，是否存在实数 $λ$ ，使得 $k_{1} + k_{2} = λ k_{3}$ ？若存在，求 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

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22. 已知定义在 $(0 ， + ∞)$ 上的函数 $f (x) = \sqrt{x} \cdot e^{a x}$ .

(1)、若 $a \in R$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a > 0$ ，且当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时，不等式 ${(\frac{e^{a x}}{x})}^{2 a} \geq \frac{l n x}{a x}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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$X$	1	2
$P$	$m$	$n$

x	100	150	200	300	450
t	90	65	45	30	20