四川省资阳市安岳县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-02-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列计算正确的是（）

A、 $2 \sqrt{2} + \sqrt{2} = 4$ B、 $2 \sqrt{5} \div \sqrt{5} = 2$ C、 $2 \sqrt{2} - \sqrt{2} = 1$ D、 $\sqrt{8} = 4 \sqrt{2}$

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2. 下列事件为必然事件的是（）

A、篮球运动员在罚球线上投篮一次，未投中 B、在数轴上任取一点，则该点表示的数是有理数 C、经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D、任意画一个四边形，其内角和为360°

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3. 估算： $\sqrt{15} \times \sqrt{\frac{1}{3}}$ 的值应在（）

A、0和1之间 B、1和2之间 C、2和3之间 D、3和4之间

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4. 在平面直角坐标系中，将点 $M (- 2 ， 3)$ 向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的点的坐标为（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 5)$ C、 $(- 3 ， 1)$ D、 $(- 3 ， 5)$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中，D、E、F分别是 $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$ 的中点，若 $∠ C F E = 55 °$ ，则 $∠ A D E$ 的度数为（）

A、 $65 °$ B、 $60 °$ C、 $55 °$ D、 $50 °$

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6. “读万卷书，行万里路.”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字.设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（）

A、 $100 {(1 + x)}^{2} ＝ 121$ B、 $100 {(1 + x %)}^{2} ＝ 121$ C、 $100 (1 + 2 x) ＝ 121$ D、 $100 + 100 (1 + x) + 100 {(1 + x)}^{2} ＝ 121$

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7. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C ， A C$ 与 $B D$ 相交于点O，若 $\frac{S_{△ A O D}}{S_{△ B O C}} = \frac{1}{4}$ ，则 $\frac{S_{△ D O C}}{S_{△ B O C}}$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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8. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简： $| a - 2 | + \sqrt{{(a - 4)}^{2}}$ 的结果为（）

A、2 B、-2 C、2a-6 D、-2a+6

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9. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， E是 $B C$ 上一点，连接 $A E$ ，将 $△ A B E$ 沿AE翻折，使点B落在点F处，连接 $B F 、 D F$ .若 $B F = \sqrt{2} A B$ ，则 $t a n ∠ C D F$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $2 + \sqrt{3}$ D、 $2 - \sqrt{3}$

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10. 如图，直线l的解析式为 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，点 $M_{1} (0 ， 1)$ ， $M_{1} N_{1} ⊥ y$ 轴交直线l于点 $N_{1}$ ；点 $M_{2}$ 为y轴上位于 $M_{1}$ 上方的一点，且 $M_{1} M_{2} = M_{1} N_{1}$ ， $M_{2} N_{2} ⊥ y$ 轴交直线l于点 $N_{2}$ ；点 $M_{3}$ 为y轴上位于 $M_{2}$ 上方的一点，且 $M_{2} M_{3} = M_{2} N_{2}$ ， $M_{3} N_{3} ⊥ y$ 轴交直线l于点 $N_{3}$ $⋯$ ，按此规律，线段 $N_{2022} N_{2023}$ 的长为（）

A、 $\sqrt{3} {(1 + \sqrt{3})}^{2021}$ B、 $\sqrt{3} {(1 + \sqrt{3})}^{2022}$ C、 $2 \sqrt{3} {(1 + \sqrt{3})}^{2021}$ D、 $2 \sqrt{3} {(1 + \sqrt{3})}^{2022}$

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二、填空题

11. 使代数式 $\sqrt{x - 1}$ 有意义的x的取值范围是．

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12. 如图所示的电路中，若任意闭合一个开关，则灯泡L₁发光的概率是.

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13. 若最简二次根式 $2 \sqrt{4 m - 1}$ 与 $\sqrt{2 + 3 m}$ 是同类二次根式，则m =.

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14. 若 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4}$ ，且 $2 a + b - c = 6$ ，则 $a + b + c$ 的值为.

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， C D$ 为 $A B$ 边上的中线，点G为 $△ A B C$ 的重心.若 $A C = 12 ， B C = 16$ ，则 $D G$ 的长为.

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16. 如图1，在四边形 $A B C D$ 中，若 $△ A B C ∽ △ A C D$ ，则称 $A C$ 为四边形 $A B C D$ 关于点A的“靓线”.如图2，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 5$ ， E为 $A D$ 的中点，F为 $B A$ 延长线上一点，连结 $B E ， C E ， E F$ ，若BE为四边形 $B C E F$ 关于点B的“靓线”， $C E = 6$ ，则 $A F$ 的长为.

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 $(\sqrt{48} + \sqrt{12} - 3 \sqrt{27}) \div 3 \sqrt{3}$

(2)、 $t a n 4 5^{∘} + \frac{1}{2} t a n 6 0^{∘} - | c o s 3 0^{∘} - 1 |$

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18. 先化简，再求值： $\frac{a + 2}{a - 1} \div (a + 1 - \frac{3}{a - 1})$ ，其中 $a = \sqrt{2} + 3$ .

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19. 如图，已知： $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (- 2 ， - 1)$ ， $B (- 5 ， - 2)$ ， $C (- 1 ， - 3)$ .
⑴画出 $△ A B C$ 关于x轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
⑵以点O为位似中心，将 $△ A B C$ 放大为原来的2倍，得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请在网格中画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并写出点 $B_{2}$ 的坐标.

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20. 为了更好落实“双减”政策，增强课后服务的时效性，我县一中学定于每周四下午进行兴趣课“走班制”，开设了5类兴趣课（每位学生均选其一）：A.音乐；B.体育；C.美术；D.信息技术；E.演讲.为了了解该校学生的参与情况，现随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.
根据图中信息，解答下列问题：

(1)、求此次调查的学生人数，并补全条形统计图；

(2)、求“C”类兴趣课所对应扇形的圆心角的度数；

(3)、若“E”类兴趣班中有2名男生和3名女生，从中随机抽取2名参加县级演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.

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21. 第19届亚运会原定于2022年9月10日至25日在杭州举行，其吉祥物“琼琼”、“莲莲”、“宸宸”组成的“江南忆”毛绒玩具套件，已成为杭州店销人气款.某商场销售这种毛绒玩具，平均每天可售出50套，每套盈利60元.但由于受疫情影响，此届亚运会将延期至2023年举行，于是该商场决定采取降价措施，以尽快减少库存，经调查发现，每套毛绒玩具每降价1元，平均每天可多售出2套.

(1)、若每套毛绒玩具降价5元，则该商场平均每天可盈利多少元？

(2)、若该商场计划平均每天盈利3500元，则每套毛绒玩具应降价多少元？

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22. 如图，A、B两地是我国某海域一东西方向上的两个小岛.一天，一艘渔政船在C处巡逻时，测得小岛A在它的北偏东 $15 °$ 方向上，它沿西北方向航行 $10 \sqrt{6}$ 海里后到达D处，测得小岛A在它的东北方向.

(1)、求D处与小岛A的距离；

(2)、若该渔政船在D处测得小岛B在它的北偏西 $53 °$ 方向上，求小岛A、B之间的距离.（参考数据： $s i n 53 ° = \frac{4}{5}$ ， $c o s 53 ° = \frac{3}{5}$ ， $t a n 53 ° = \frac{4}{3}$ ）

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23. 定义：已知 $x_{1} ， x_{2}$ 是关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根，若 $x_{1} < x_{2} < 0$ ，且 $3 < \frac{x_{1}}{x_{2}} < 4$ ，则称这个方程为“限根方程”.如：一元二次方程 $x^{2} + 13 x + 30 = 0$ 的两根为 $x_{1} = - 10 ， x_{2} = - 3$ ，因 $- 10 < - 3 < 0$ ， $3 < \frac{- 10}{- 3} < 4$ ，所以一元二次方程 $x^{2} + 13 x + 30 = 0$ 为“限根方程”.
请阅读以上材料，回答下列问题：

(1)、判断一元二次方程 $x^{2} + 9 x + 14 = 0$ 是否为“限根方程”，并说明理由；

(2)、若关于x的一元二次方程 $2 x^{2} + (k + 7) x + k^{2} + 3 = 0$ 是“限根方程”，且两根 $x_{1} 、 x_{2}$ 满足 $x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2} = - 1$ ，求k的值；

(3)、若关于x的一元二次方程 $x^{2} + (1 - m) x - m = 0$ 是“限根方程”，求m的取值范围.

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24. 【情境再现】

(1)、如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点E、F分别在边 $A B 、 B C$ 上，且 $D E ⊥ A F$ ，求证： $D E = A F$ .

(2)、【迁移应用】
如图2，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = k A B$ （k为常数），点E、F、G、H分别在矩形 $A B C D$ 的边上，且 $E G ⊥ F H$ ，求证： $E G = k F H$ .

(3)、【拓展延伸】
如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ A D C = 90 °$ ， $∠ B C D = 60 °$ ， $C D = 4$ ，点E、F分别在边 $A B 、 B C$ 上，且 $C E ⊥ D F$ ， $\frac{D F}{C E} = 4 \sqrt{3} - 6$ ，求 $A B$ 的长.

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