四川省达州市通川区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-02-16 类型：期末考试

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一、单选题

1. 把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列事件为必然事件的是（）

A、任意买一张电影票，座位号是偶数 B、打开电视机，正在播放动画片 C、3个人分成两组，一定有2个人分在一组 D、三根长度为2cm，2cm，4cm的木棒能摆成三角形

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3. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $c o s A = \frac{1}{3}$ ，则 $t a n B$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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4. 如图，EF是一个杠杆，可绕支点O自由转动，若动力 $F_{动}$ 和阻力 $F_{阻}$ 的施力方向都始终保持竖直向下，当阻力 $F_{阻}$ 不变时，则杠杆向下运动时 $F_{动}$ 的大小变化情况是（）

A、越来越小 B、不变 C、越来越大 D、无法确定

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5. 若 $x = - 1$ 是关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 k x + k^{2} = 0$ 的一个根，则k的值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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6. 如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $B C = 3$ ，将 $△ B C D$ 沿 $B D$ 折叠到 $△ B E D$ 位置， $D E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，则 $c o s ∠ A D F$ 的值为（）

A、 $\frac{8}{17}$ B、 $\frac{7}{15}$ C、 $\frac{15}{17}$ D、 $\frac{8}{15}$

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7. 如图，已知 $△ A B C$ .

(1)、以点 $A$ 为圆心，以适当长为半径画弧，交 $A C$ 于点 $M$ ，交 $A B$ 于点 $N$ .（2）分别以M，N为圆心，以大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ B A C$ 的内部相交于点 $P$ .（3）作射线 $A P$ 交 $B C$ 于点D.（4）分别以A，D为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A D$ 的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点.（5）作直线 $G H$ ，交 $A C ， A B$ 分别于点E，F.
依据以上作图，若 $A F = 2$ ， $C E = 3$ ， $B D = \frac{3}{2}$ ，则 $C D$ 的长是（）.

A、2 B、1 C、 $\frac{9}{4}$ D、4

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8. 在平面直角坐标系中，已知点 $E (- 4 ， 2)$ ， $F (- 2 ， - 2)$ .若 $△ O E^{^{'}} F^{^{'}}$ 与 $△ O E F$ 关于点 $O$ 位似，且 $S_{△ O E^{'} F^{'}} ： S_{△ O E F} = 4 ： 1$ ，则点 $E^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(2 ， - 1)$ B、 $(8 ， - 4)$ C、 $(- 8 ， 4)$ 或 $(8 ， - 4)$ D、 $(2 ， - 1)$ 或 $(- 2 ， 1)$

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9. 如图，在直角坐标系中，以坐标原点 $O (0 ， 0)$ ， $A (0 ， 4)$ ， $B (3 ， 0)$ 为顶点的 $R t △ A O B$ ，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点 $P$ ，且点 $P$ 恰好在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，则 $k$ 的值为（）

A、36 B、25 C、16 D、9

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10. 如图，将矩形 $A B C D$ 沿着 $G E$ 、 $E C$ 、 $G F$ 翻折，使得点 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 恰好都落在点 $O$ 处，且点 $G$ 、 $O$ 、 $C$ 在同一条直线上，同时点 $E$ 、 $O$ 、 $F$ 在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：
① $G F ∥ E C$ ；② $A B = \frac{4 \sqrt{3}}{5} A D$ ；③ $G E = \sqrt{6} D F$ ；④ $O C = 2 \sqrt{2} O F$ ；⑤ $△ C O F ∽ △ C E G$ .

其中正确的是（）

A、①②③ B、①③④ C、①④⑤ D、②③④

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二、填空题

11. 我们把宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为 $\sqrt{5} -$ 1，则该矩形的周长为 .

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12. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．

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13. 如图，正比例函数 $y_{1} = m x$ ，一次函数 $y_{2} = a x + b$ 和反比例函数 $y_{3} = \frac{k}{x}$ 的图象在同一直角坐标系中，若 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$ ，则自变量 $x$ 的取值范围是.

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14. 在正方形网格中， $△ A B C$ 的位置如图所示，则 $c o s A$ 的值为.

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15. 如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为 $S_{1}$ ，空白部分的面积为 $S_{2}$ ，大正方形的边长为 $m$ ，小正方形的边长为 $n$ ，若 $S_{1} = S_{2}$ ，则 $\frac{n}{m}$ 的值为.

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三、解答题

16. 计算： $2 \sin 60^{°} + {(- \frac{1}{3})}^{- 2} + {(π - 2020)}^{0} + | 2 - \sqrt{3} |$

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17. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC和 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 关于点E成中心对称，

⑴在图中标出点E，且点E的坐标为      ▲      ；
⑵点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点 $P^{'}$ 的坐标为（a－6，b+2），请画出上述平移后的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，此时 $A_{2}$ 的坐标为      ▲       ， $C_{2}$ 的坐标为      ▲      ；
⑶若 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 和 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 关于点F成位似三角形，则点F的坐标为      ▲      .

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18. 为了解全校1000名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题.

(1)、m＝ ▲ ，这次共抽取了 ▲ 名学生进行调查；并补全条形图；

(2)、请你估计该校约有多少名学生喜爱打篮球；

(3)、现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三女一男）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？

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19. 如图，已知在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，延长 $D C$ 到点 $E$ ，使 $C E = C D$ ，延长 $B C$ 到点 $F$ ，使 $C F = B C$ ，顺次连接点 $B ， E ， F ， D$ ，若 $B D = 1$ ， $A C = \sqrt{3}$ .

(1)、求证：四边形 $B E F D$ 是矩形；

(2)、求四边形 $B E F D$ 的周长为多少.

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20. 如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌 $C D$ .小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为 $45 °$ ，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为 $30 °$ .已知山坡 $A B$ 的坡度 $i = 1 ： \sqrt{3} ， A B = 10$ 米， $A E = 15$ 米.

(1)、 $∠ B A H =$ $°$ ；点B距水平面 $A E$ 的高度 $B H =$ 米；

(2)、求广告牌 $C D$ 的高度.（结果精确到0.1米，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41 ， \sqrt{3} \approx 1.73$ .）

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21. 2022成都世乒赛期间，某店直接从工厂购进A、B两款纪念品，进货价和销售价如下表：（注：利润 $=$ 销售价 $-$ 进货价）
类别价格
A款纪念品
B款纪念品
进货价（元/件）
20
15
销售价（元/件）
35
27

(1)、该店第一次用850元购进A、B款纪念品共50件，求两款纪念品分别购进的件数；

(2)、第一次购进的纪念品售完后，该网店计划再次购进A、B两款纪念品共200件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于3200元，应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少?

(3)、成都世乒赛临近结束时，网店打算把B款纪念品调价销售.如果按照原价销售，平均每天可售4件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款纪念品平均每天销售利润为90元？

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22. 如图，已知一次函数 $y_{1} = k x + b$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x}$ 的图象在第一、三象限分别交于 $A (6 ， 1)$ ， $B (a ， - 3)$ 两点，连接 $O A ， O B$ .

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)、 $x$ 轴上是否存在一点 $M$ ，能使 $S_{△ A B M} = 2 S_{△ A O B}$ ，若存在，请求出 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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23. 如图，四边形ABCD是正方形，点P是线段AB的延长线上一点，点M是线段AB上一点，连接DM，以点M为直角顶点作MN⊥DM交∠CBP的角平分线于N，过点C作CE $∥$ MN交AD于E，连接EM，CN，DN.

(1)、求证：DM＝MN；

(2)、求证：EM $∥$ CN.

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24. 阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”.

材料二：若关于x的一元二次方程ax²+bx +c= 0（a≠0）的两根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则有 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ .

问题解决：

(1)、请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是关于x的方程ax²+bx +c= 0 （a，b，c均不为0）的两根， $x_{3}$ 是关于x的方程bx+c=0（b，c均不为0）的解.求证：x₁ ， x₂ ， x₃可以构成“和谐三数组”；

(3)、若A（m，y₁），B（m + 1，y₂），C（m+3，y₃）三个点均在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值.

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25.

(1)、【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

(2)、【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出 $\frac{B D}{C E}$ 的值．

(3)、【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且 $\frac{A B}{B C}$ ＝ $\frac{A D}{D E}$ ＝ $\frac{3}{4}$ ．连接BD，CE．
①求 $\frac{B D}{C E}$ 的值；
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．

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类别价格	A款纪念品	B款纪念品
进货价（元/件）	20	15
销售价（元/件）	35	27