四川省自贡市富顺县富世学区2021-2022学年九年级下学期第一学月考数学试题

试卷更新日期：2023-02-16 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 2020年12月17日凌晨，嫦娥5号返回器携带月球样本成功着陆！已知地球到月球的平均距离约为380000千米.数据380000用科学记数法表示为（）

A、 $0.38 \times 10^{5}$ B、 $3.8 \times 10^{6}$ C、 $3.8 \times 10^{5}$ D、 $38 \times 10^{4}$

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2. 下列各式中，计算正确的是（）

A、 $\sqrt{9} = \pm 3$ B、 $(a^{2})^{3} = a^{5}$ C、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ D、 $(2 a^{3})^{2} = 4 a^{6}$

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3. 下列标志中，属于轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图， $△ A B C$ 内接于圆O，连接 $O A$ 、 $O B$ ， $∠ C = 40 °$ ，则 $∠ A O B$ 的度数是（）

A、 $80 °$ B、 $50 °$ C、 $45 °$ D、 $40 °$

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5. 在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（）

A、4个 B、5个 C、不足4个 D、6个或6个以上

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6. 如果 $x^{2} - x - 1 = {(x + 1)}^{0}$ ，那么x的值为（）

A、2或-1 B、0或1 C、2 D、-1

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7. 定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
已知：如图，∠ACD是 $△ A B C$ 的外角，求证： $∠ A C D = ∠ A + ∠ B$ .

证法1：如图.

∵ $∠ A + ∠ B + ∠ A C B = 180 °$ （三角形内角和定理）

又∵ $∠ A C D + ∠ A C B = 180 °$ （平角定义）

∴ $∠ A C D + ∠ A C B = ∠ A + ∠ B + ∠ A C B$ （等量代换）

∴ $∠ A C D = ∠ A + ∠ B$ （等式性质）

证法2：如图，

∵ $∠ A = 76 °$ ， $∠ B = 59 °$ ，

且 $∠ A C D = 135 °$ （量角器测量所得）

又∵ $135 ° = 76 ° + 59 °$ （计算所得）

∴ $∠ A C D = ∠ A + ∠ B$ （等量代换）

下列说法正确的是（）

A、证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整 B、证法1用严谨的推理证明了该定理 C、证法2用特殊到一般法证明了该定理 D、证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理

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8. 如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）

A、2－ $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{3}{2}$ － $\frac{π}{4}$ C、2－ $\frac{π}{8}$ D、 $\frac{3}{2}$ － $\frac{π}{8}$

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9. 若一元二次方程 $a x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）

A、 $a < 1$ B、 $a \leq 1$ C、 $a \leq 1$ 且 $a \neq 0$ D、 $a < 1$ 且 $a \neq 0$

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10. 如图，已知点A是双曲线y＝ $\frac{2}{x}$ 在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为(m，n)，则m，n满足的关系式为（）

A、n＝－2m B、n＝－ $\frac{2}{m}$ C、n＝－4m D、n＝－ $\frac{4}{m}$

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11. 如图，在 $Δ A B C$ 中，D在AC边上， $A D ： D C ＝ 1 ： 2$ ，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则 $B E ： E C ＝$ （）

A、1：2 B、1：3 C、1：4 D、2：3

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12. 已知A、B两点的坐标分别为 $(3 ， - 4)$ 、 $(0 ， - 2)$ ，线段 $A B$ 上有一动点 $M (m ， n)$ ，过点M作x轴的平行线交抛物线 $y = a (x - 1)^{2} + 2$ 于 $P (x_{1} ， y_{1})$ 、 $Q (x_{2} ， y_{2})$ 两点.若 $x_{1} < m \leq x_{2}$ ，则a的取值范围为（）

A、 $- 4 \leq a < - \frac{3}{2}$ B、 $- 4 \leq a \leq - \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{3}{2} \leq a < 0$ D、 $- \frac{3}{2} < a < 0$

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二、填空题

13. 分解因式： $x^{3} - 4 x$ =

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14. 要使分式 $\frac{5}{x - 1}$ 有意义，则x的取值范围为．

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15. 九 $2$ 班一小组 $7$ 名同学的生物测试成绩依次为： $25$ ， $23$ ， $25$ ， $23$ ， $27$ ， $30$ ， $25$ ，这组数据的中位数和众数分别是.

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16. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (k + 4) x + 4 k = 0$ （ $k \neq 0$ ）的两实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，若 $\frac{2}{x_{1}} + \frac{2}{x_{2}} = 3$ ，则 $k =$ .

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17. 将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径 $M N$ 对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线 $A B$ 剪开，再将 $△ A O B$ 展开得到如图3的一个六角星.若 $∠ C D E = 75 °$ ，则 $∠ O B A$ 的度数为.

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18. 如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是 $△$ AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是.

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三、解答题

19. 计算： $\sqrt[3]{- 8} + (3 - π)^{0} - 2 s i n 60 ° + (- 1)^{2022} + | \sqrt{3} - 1 |$

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20. 如图，一次函数 $y_{1} = k x + b$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x}$ （ $m > 0$ ）的图象交于点 $C (1 ， 2)$ ， $D (2 ， n)$ .

(1)、分别求出两个函数的解析式；

(2)、连接 $O D$ ，求 $△ B O D$ 的面积.

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21. 今年五、六月份，我省各地、市普遭暴雨袭击，水位猛涨.某市抗洪抢险救援队伍在B处接到报告：有受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶A处，情况危急！救援队伍在B处测得A在B的北偏东 $6 0^{∘}$ 的方向上（如图所示），队伍决定分成两组：第一组马上下水游向A处救人，同时第二组从陆地往正东方向奔跑 $120$ 米到达C处，再从C处下水游向A处救人，已知A在C的北偏东 $3 0^{∘}$ 的方向上，且救援人员在水中游进的速度均为1米/秒.在陆地上奔跑的速度为4米/秒，试问哪组救援队先到A处？请说明理由.（参考数据 $\sqrt{3} = 1.732$ ）

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22. 为了积极响应我市“打赢蓝天保卫战”的倡议，秉承“低碳生活，绿色出行”的公益理念，越来越多的居民选择共享单车作为出行的交通工具.2018年1月，某公司向市场新投放共享单车640辆.

(1)、若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆.请问该公司4月份新投放共享单车多少辆？

(2)、考虑到自行车市场需求不断增加，某商城准备用不超过70000元的资金再购进A、B两种规格的自行车100辆，已知A型的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆，假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该商城应如何进货？并求出最大利润值.

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23. 某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑测试.按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级.学校绘制了如下不完整的统计图.

(1)、根据给出的信息，补全两幅统计图；

(2)、该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好有多少名?

(3)、某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛，预赛分为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组.甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少?

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24. 阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J.Npler，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler.1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系.
对数的定义：一般地.若 $a^{x} = N$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），那么x叫做以a为底N的对数，

记作 $x = \log_{a} N$ ，比如指数式 $2^{4} = 16$ 可以转化为对数式 $4 = \log_{2} 16$ ，对数式 $2 = \log_{3} 9$ 可以转化为指数式 $3^{2} = 9$ .我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

$\log_{a} (M \cdot N) = \log_{a} M + \log_{a} N (a > 0 ， a \neq 1 ， M > 0 ， N > 0)$ ，理由如下：

设 $\log_{a} M = m ， \log_{a} N = n$ ，则 $M = a^{m} ， N = a^{n}$ .

$∴ M \cdot N = a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ .由对数的定义得 $m + n = \log_{a} (M \cdot N)$

又 $∵ m + n = \log_{a} M + \log_{a} N$

$∴ \log_{a} (M \cdot N) = \log_{a} M + \log_{a} N$ .

根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：

(1)、填空：① $\log_{2} 32 =$ ；② $\log_{3} 27 =$ ， ③ ${log}_{7} l =$ ；

(2)、求证： $\log_{a} \frac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N (a > 0 ， a \neq 1 ， M > 0 ， N > 0)$ ；

(3)、拓展运用：计算 $\log_{5} 125 + \log_{5} 6 - \log_{5} 30$ .

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25.
已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．

(1)、求证：BD是⊙O的切线；

(2)、求证：CE²=EH•EA；

(3)、若⊙O的半径为5，sinA= $\frac{3}{5}$ ，求BH的长。

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26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x^{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x - \sqrt{3}$ 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点 $E (4 ， n)$ 在抛物线上.

(1)、求直线 $A E$ 的解析式.

(2)、点P为直线 $C E$ 下方抛物线上的一点，连接 $P C$ ， $P E$ .当 $Δ P C E$ 的面积最大时，连接 $C D$ ， $C B$ ，点K是线段 $C B$ 的中点，点M是线段 $C P$ 上的一点，点N是线段 $C D$ 上的一点，求 $K M + M N + N K$ 的最小值.

(3)、点G是线段 $C E$ 的中点，将抛物线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x^{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x - \sqrt{3}$ 与x轴正方向平移得到新抛物线 $y^{'}$ ， $y^{'}$ 经过点 $D$ ， $y^{'}$ 的顶点为点F，在新抛物线 $y^{'}$ 的对称轴上，是否存在点Q，使得 $Δ F G Q$ 为等腰三角形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

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