2013年高考理数真题试卷（福建卷）

试卷更新日期：2016-09-26 类型：高考真卷

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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.

1. 已知复数z的共轭复数 $\bar{z} = 1 + 2 i$ （i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的顶点到渐近线的距离等于（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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4. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）

A、588 B、480 C、450 D、120

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5. 满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax²+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（）

A、14 B、13 C、12 D、10

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6. 阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（）

A、计算数列{2ⁿ^﹣¹}的前10项和 B、计算数列{2ⁿ^﹣¹}的前9项和 C、计算数列{2ⁿ﹣1}的前10项和 D、计算数列{2ⁿ﹣1}的前9项和

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7. 在四边形ABCD中， $\vec{A C}$ =（1，2）， $\vec{B D}$ =（﹣4，2），则该四边形的面积为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 $\sqrt{5}$ C、5 D、10

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8. 设函数f（x）的定义域为R，x₀（x₀≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）

A、∀x∈R，f（x）≤f（x₀） B、﹣x₀是f（﹣x）的极小值点 C、﹣x₀是﹣f（x）的极小值点 D、﹣x₀是﹣f（﹣x）的极小值点

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9. 已知等比数列{a_n}的公比为q，记b_n=a_m_（_n_﹣₁_）₊₁+a_m_（_n_﹣₁_）₊₂+…+a_m_（_n_﹣₁_）_+m ， c_n=a_m_（_n_﹣₁_）₊₁•a_m_（_n_﹣₁_）₊₂•…•a_m_（_n_﹣₁_）_+m ，（m，n∈N^*），则以下结论一定正确的是（）

A、数列{b_n}为等差数列，公差为q^m B、数列{b_n}为等比数列，公比为q^2m C、数列{c_n}为等比数列，公比为 $q^{m^{2}}$ D、数列{c_n}为等比数列，公比为 $q^{2 m}$

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10. 设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x₁ ， x₂∈S，当x₁＜x₂时，恒有f（x₁）＜f（x₂），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（）

A、A=N^* ， B=N B、A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10} C、A={x|0＜x＜1}，B=R D、A=Z，B=Q

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二、填空题：把答案填写在答题卡的相应位置.

11. 利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为．

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12. 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是．

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13. 如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC= $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，AB=3 $\sqrt{2}$ ，AD=3，则BD的长为．

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14. 椭圆Γ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁ ， F₂ ，焦距为2c，若直线y= $\sqrt{3} (x + c)$ 与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF₁F₂=2∠MF₂F₁ ，则该椭圆的离心率等于．

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15. 当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x²+…+xⁿ+…= $\frac{1}{1 - x}$
两边同时积分得： $\int_{0}^{\frac{1}{2}} 1$ dx+ $\int_{0}^{\frac{1}{2}}$ xdx+ $\int_{0}^{\frac{1}{2}}$ x²dx+…+ $\int_{0}^{\frac{1}{2}}$ xⁿdx+…= $\int_{0}^{\frac{1}{2}}$ $\frac{1}{1 - x}$ dx
从而得到如下等式：1× $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ ×（ $\frac{1}{2}$ ）²+ $\frac{1}{3}$ ×（ $\frac{1}{2}$ ）³+…+ $\frac{1}{n + 1}$ ×（ $\frac{1}{2}$ ）ⁿ⁺¹+…=ln2
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
$C_{n}^{0}$ × $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ $C_{n}^{1}$ ×（ $\frac{1}{2}$ ）²+ $\frac{1}{3}$ $C_{n}^{2}$ ×（ $\frac{1}{2}$ ）³+…+ $\frac{1}{n + 1}$ $C_{n}^{n}$ ×（ $\frac{1}{2}$ ）ⁿ⁺¹= ．

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三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 $\frac{2}{3}$ ，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为 $\frac{2}{5}$ ，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．

(1)、若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；

(2)、若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

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17. 已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）

(1)、当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；

(2)、求函数f（x）的极值．

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18. 如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A₁ ， A₂ ， …，A₉和B₁ ， B₂ ， …，B₉ ，连接OB_i ，过A_i作x轴的垂线与OB_i ，交于点 $P_{i} (i \in N^{*} ， 1 \leq i \leq 9)$ ．

(1)、求证：点 $P_{i} (i \in N^{*} ， 1 \leq i \leq 9)$ 都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；

(2)、过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．

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19.
如图，在四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥底面ABCD，AB∥DC，AA₁=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）

(1)、求证：CD⊥平面ADD₁A₁

(2)、若直线AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值为 $\frac{6}{7}$ ，求k的值

(3)、现将与四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）

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20. 已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（ $\frac{π}{4}$ ，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个 $\frac{π}{2}$ 单位长度后得到函数g（x）的图象．

(1)、求函数f（x）与g（x）的解析式

(2)、是否存在x₀∈（ $\frac{π}{6} ， \frac{π}{4}$ ），使得f（x₀），g（x₀），f（x₀）g（x₀）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x₀的个数，若不存在，说明理由；

(3)、求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．

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21. 选修4﹣2：矩阵与变换
已知直线l：ax+y=1在矩阵 $A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ 对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1

(1)、求实数a，b的值

(2)、若点P（x₀ ， y₀）在直线l上，且 $A (\begin{matrix} x_{0} \\ y_{0} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{0} \\ y_{0} \end{matrix})$ ，求点P的坐标．

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22. 选修4﹣4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为 $(\sqrt{2} ， \frac{π}{4})$ ，直线l的极坐标方程为 $ρ \cos (θ - \frac{π}{4}) = a$ ，且点A在直线l上．

(1)、求a的值及直线l的直角坐标方程；

(2)、圆C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + \cos a \\ y = \sin a \end{matrix} (a 为参数)$ ，试判断直线l与圆C的位置关系．

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23. 设不等式|x﹣2|＜a（a∈N^*）的解集为A，且 $\frac{3}{2} \in A ， \frac{1}{2} \notin A$

(1)、求a的值

(2)、求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．

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