2023年中考数学精选真题实战测试43 正方形 A

试卷更新日期：2023-02-15 类型：二轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 下列说法错误的是（）

A、对角线垂直且互相平分的四边形是菱形 B、同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等 C、对角线相等的四边形是矩形 D、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形

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2. 如图，正方形 $O A B C$ 的边长为 $\sqrt{2}$ ，将正方形 $O A B C$ 绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点 $B_{1}$ 的坐标为（）

A、 $(- \sqrt{2} ， 0)$ B、 $(- \sqrt{2} ， 0)$ C、 $(0 ， \sqrt{2})$ D、 $(0 ， 2)$

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3. 如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（）

A、三角形 B、梯形 C、正方形 D、五边形

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4. 如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE = 1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

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5. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D > A B$ ，点E，F分别在 $A D ， B C$ 边上， $E F ∥ A B ， A E = A B$ ， AF与 $B E$ 相交于点O，连接 $O C$ ，若 $B F = 2 C F$ ，则 $O C$ 与 $E F$ 之间的数量关系正确的是（）

A、 $2 O C = \sqrt{5} E F$ B、 $\sqrt{5} O C = 2 E F$ C、 $2 O C = \sqrt{3} E F$ D、 $O C = E F$

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6. 若顺次连接四边形 $A B C D$ 各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形 $A B C D$ 的两条对角线 $A C ， B D$ 一定是（）

A、互相平分 B、互相垂直 C、互相平分且相等 D、互相垂直且相等

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7. 如图，在边长为2的等边三角形 $A B C$ 的外侧作正方形 $A B E D$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ B C$ ，垂足为 $F$ ，则 $D F$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3} + 2$ B、 $5 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $3 - \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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8. 正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点O（如图1），如果 $∠ B O C$ 绕点O按顺时针方向旋转，其两边分别与边 $A B ， B C$ 相交于点E、F（如图2），连接EF，那么在点E由B到A的过程中，线段EF的中点G经过的路线是（）

A、线段 B、圆弧 C、折线 D、波浪线

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9. 如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（）
①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD＝45°；

A、①③ B、①②③ C、②③ D、①②④

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10. 如图，四边形 $A B C D$ 为正方形，将 $△ E D C$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $90 °$ 至 $△ H B C$ ，点 $D$ ， $B$ ， $H$ 在同一直线上， $H E$ 与 $A B$ 交于点 $G$ ，延长 $H E$ 与 $C D$ 的延长线交于点 $F$ ， $H B = 2$ ， $H G = 3$ .以下结论：
① $∠ E D C = 135 °$ ；② $E C^{2} = C D \cdot C F$ ；③ $H G = E F$ ；④ $s i n ∠ C E D = \frac{\sqrt{2}}{3}$ .其中正确结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（每空3分，共18分）

11. 如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′＝ $\frac{1}{3}$ AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是．

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12. 如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形 $A B C O$ 绕原点O逆时针旋转 $75 °$ ，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点 $B^{″}$ 的坐标为．

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13. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E为 $A D$ 的中点，连接 $B E$ 交 $A C$ 于点F．若 $A B = 6$ ，则 $△ A E F$ 的面积为．

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14. 如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心将 $△ D C E$ 绕点D顺时针旋转 $90 °$ 与 $△ D A F$ 恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接BQ，若 $A Q · D P = 3 \sqrt{2}$ ，则 $B Q =$ .

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15. 如图，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，连接BC′，当点A′恰好落在线段BC′上时，线段BC′的长度是 .

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16. 如图，以 $△ A B C$ 的三边为边在 $B C$ 上方分别作等边 $△ A C D$ 、 $△ A B E$ 、 $△ B C F$ .且点A在 $△ B C F$ 内部.给出以下结论：
①四边形 $A D F E$ 是平行四边形；
②当 $∠ B A C = 150 °$ 时，四边形 $A D F E$ 是矩形；
③当 $A B = A C$ 时，四边形 $A D F E$ 是菱形；
④当 $A B = A C$ ，且 $∠ B A C = 150 °$ 时，四边形 $A D F E$ 是正方形.
其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）.

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点， $C E ⊥ B G$ 于点E， $D F ⊥ C E$ 于点F.求证： $D F = B E + E F$ .

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18. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 上一点，连接 $B E$ ， $B E$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $C D$ 于点 $N$ ，垂足为 $O$ ，点 $F$ 在 $D C$ 上，且 $M F ∥ A D$ .

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ F M N$ ；

(2)、若 $A B = 8$ ， $A E = 6$ ，求 $O N$ 的长.

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19. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF.

(1)、求证：△ABE≌△CDF；

(2)、若AB＝3 $\sqrt{2}$ ， BE＝2，求四边形AECF的面积.

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20. 将正方形 $A B C D$ 和菱形 $E F G H$ 按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形 $E F G H$ 的对角线 $H F$ 经过点B，点E，G分别在 $A B$ ， $B C$ 上.

(1)、求证： $△ A D E ≌ △ C D G$ ；

(2)、若 $A E = B E = 2$ ，求 $B F$ 的长.

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21. 如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点， $∠ A E F = 90 °$ ，且 $E F = A E$ ， $F H ⊥ B H$ .

(1)、求证： $B E = C H$ ；

(2)、若 $A B = 3$ ， $B E = x$ ，用x表示DF的长.

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22.

(1)、【探究发现】如图①所示，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 边上一点，将 $△ A E B$ 沿 $B E$ 翻折到 $△ B E F$ 处，延长 $E F$ 交 $C D$ 边于 $G$ 点．求证： $△ B F G ≌ △ B C G$

(2)、【类比迁移】如图②，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 边上一点，且 $A D = 8 ， A B = 6 ，$ 将 $△ A E B$ 沿 $B E$ 翻折到 $△ B E F$ 处，延长 $E F$ 交 $B C$ 边于点 $G ，$ 延长 $B F$ 交 $C D$ 边于点 $H ，$ 且 $F H = C H ，$ 求 $A E$ 的长．

(3)、【拓展应用】如图③，在菱形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $C D$ 边上的三等分点， $∠ D = 60 ° ，$ 将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 翻折得到 $△ A F E$ ，直线 $E F$ 交 $B C$ 于点 $P ，$ 求 $C P$ 的长．

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23. 已知 $C D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，点E，F分别在边 $A C$ ， $B C$ 上， $A D = m$ ， $B D = n$ ， $△ A D E$ 与 $△ B D F$ 的面积之和为S.

(1)、填空：当 $∠ A C B = 90 °$ ， $D E ⊥ A C$ ， $D F ⊥ B C$ 时，
①如图1，若 $∠ B = 45 °$ ， $m = 5 \sqrt{2}$ ，则 $n =$ ， $S =$ ；
②如图2，若 $∠ B = 60 °$ ， $m = 4 \sqrt{3}$ ，则 $n =$ ， $S =$ ；

(2)、如图3，当 $∠ A C B = ∠ E D F = 90 °$ 时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由：

(3)、如图4，当 $∠ A C B = 60 °$ ， $∠ E D F = 120 °$ ， $m = 6$ ， $n = 4$ 时，请直接写出S的大小.

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24. 已知正方形 $A B C D$ ， $E$ 为对角线 $A C$ 上一点.

(1)、【建立模型】如图1，连接 $B E$ ， $D E$ .求证： $B E = D E$ ；

(2)、【模型应用】如图2， $F$ 是 $D E$ 延长线上一点， $F B ⊥ B E$ ， $E F$ 交 $A B$ 于点 $G$ .
①判断 $△ F B G$ 的形状并说明理由；

②若 $G$ 为 $A B$ 的中点，且 $A B = 4$ ，求 $A F$ 的长.

(3)、【模型迁移】如图3， $F$ 是 $D E$ 延长线上一点， $F B ⊥ B E$ ， $E F$ 交 $A B$ 于点 $G$ ， $B E = B F$ .求证： $G E = (\sqrt{2} - 1) D E$ .

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