2022-2023学年浙教版数学八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系（选学）课后测验

试卷更新日期：2023-02-15 类型：同步测试

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 已知关于x的一元二次方程 $2 x^{2} - 8 x + m = 0$ 有一个根是x₁=3，则另一个根x₂是（　　）

A、﹣5 B、﹣3 C、1 D、2

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2. 设 $α ， β$ 是一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 的两个根，则 $α β$ 的值是（）

A、2 B、1 C、-2 D、-1

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3. 下列方程中的两实数根之和为-4的是（）

A、x²+2x-4=0 B、x²-4x+4=0 C、x²+4x+10=0 D、x²+4x-5=0

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4. 已知 $x_{1} ， x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} + 2 a x + b = 0$ 的两个根，且 $x_{1} + x_{2} = 3 ， x_{1} \cdot x_{2} = 1$ ，则a，b的值分别是（）

A、 $a = - 3 ， b = 1$ B、 $a = 3 ， b = 1$ C、 $a = - \frac{3}{2} ， b = - 1$ D、 $a = - \frac{3}{2} ， b = 1$

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5. 关于 $x$ 的方程 $(x - 2) (x + 1) = p^{2}$ （ $p$ 为常数）根的情况，下列结论中正确的是（）

A、有两个相异正根 B、有两个相异负根 C、有一个正根和一个负根 D、无实数根

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6. 若关于x的一元二次方程 $k^{2} x^{2} + (2 k - 1) x + 1 = 0$ 的两个实数根互为倒数，则k=（）

A、1 B、-1 C、 $± 1$ D、 $- 1 - \sqrt{2}$

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7. 若p，q是一元二次方程x²+3x﹣9＝0的两个根，则p²+2p﹣q的值是（）

A、6 B、9 C、12 D、13

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8. 设 $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $x^{2} + 10 x - 2 = 0$ 的两个根，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 的值是（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $8$ D、 $10$

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9. 已知关于x的方程mx²+x﹣m+1＝0，给出以下结论，其中错误的是（）

A、当m＝0时，方程只有一个实数根 B、若x $= \frac{3}{4}$ 是方程的根，则方程的另一根为x＝﹣1 C、无论m取何值，方程都有一个负数根 D、当m≠0时，方程有两个不相等的实数根

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10. 设a、b为x²+x﹣2011=0的两个实根，则a³+a²+3a+2014b=（）

A、2014 B、﹣2014 C、2011 D、﹣2011

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二、填空题（每空2分，共20分）

11. 已知一元二次方程2x²+bx+c=0的两个根为x₁=1和x₂=2，则b= ， c=。

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12. 若方程 $x^{2} - a x + b = 0 (a ， b$ 为常致，且 $a \neq 0)$ 的一个解是 $x = a$ ，则另一个解是．

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13. 请构造一个二次项系数为1的一元二次方程，使它的两根分别为2和3，则这个方程为.

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14. 一元二次方程x²﹣2x+1＝0的两个实数根为α，β，则α+β+α•β＝.

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15. 若m，n为一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ 的两个实数根，则 $(m + 1) (n + 1)$ 的值为．

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16. 已知x₁ ， x₂是方程3x²﹣4x+1＝0的两根，则x₁²+x₂²＝.

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17. 在解方程x²+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与-3；小王看错了q，解得方程的根为4与-2，则p和q的值分别为.

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18. 已知 $R t △ A B C$ 两直角边的长度恰好是一元二次方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 的两个实数根，那么 $△ A B C$ 的面积是.

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19. 设x₁ ， x₂是一元二次方程x²+5x﹣3=0的两根，且2x₁（x₂²+6x₂﹣3）+a=4，则a= ．

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三、综合题（共5题，共50分）

20. 已知 $\sqrt{3}$ 是方程 $x^{2} - 4 \sqrt{3} x + k = 0$ 的一个根，求方程的另一个根及k的值．

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21. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 6 x - k = 0$ （ $k$ 为常数）．设 $α$ ， $β$ 为方程的两个实数根，且 $α + 2 β = 14$ ，试求出方程的两个实数根和 $k$ 的值．

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22. 已知， $α ， β$ 是关于x的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 - k = 0$ 的两个实数根.

(1)、求k的取值范围；

(2)、是否存在实数k，使得等式 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = k + 3$ 成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由.

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23. 已知： $α$ ， $β$ （ $α$ ＞ $β$ ）是一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根，设 $s_{1} = α + β$ ， $s_{2} = α^{2} + β^{2}$ ， …， $s_{n} = α^{n} + β^{n}$ ．根据根的定义，有 $α^{2} - α - 1 = 0$ ， $β^{2} - β - 1 = 0$ ，将两式相加，得 $(α^{2} + β^{2}) - (α + β) - 2 = 0$ ，于是，得 $s_{2} - s_{1} - 2 = 0$ ．根据以上信息，解答下列问题：
①利用配方法求 $α$ ， $β$ 的值，并利用一元二次方程根与系数的关系直接写出 $s_{1}$ ， $s_{2}$ 的值．

②猜想：当n≥3时， $s_{n}$ ， $s_{n - 1}$ ， $s_{n - 2}$ 之间满足的数量关系，并证明你的猜想的符合题意性．

(注：关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 若有两根 $x_{1} ， x_{2}$ ，则有 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} ； x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ )

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24. 定义：若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ $(a \neq 0)$ 的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ $(x_{1} < x_{2})$ ，分别以 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为横坐标和纵坐标得到点 $M (x_{1} ， x_{2})$ ，则称点 $M$ 为该一元二次方程的衍生点．已知关于x的一元二次方程为 $x^{2} - 2 (m - 1) x + m^{2} - 2 m = 0$ ．

(1)、求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；

(2)、求衍生点M的轨迹的解析式；

(3)、若无论k $(k \neq 0)$ 为何值，关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的衍生点M始终在直线 $y = k x - 2 (k - 2)$ 的图象上，求b与c满足的关系．

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2022-2023学年浙教版数学八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系（选学） 课后测验

一、单选题（每题3分，共30分）

二、填空题（每空2分，共20分）

三、综合题（共5题，共50分）

2022-2023学年浙教版数学八年级下册2.4一元二次方程根与系数的关系（选学）课后测验