人教A版（2019）选择性必修第三册 6.2.3 组合

试卷更新日期：2023-02-15 类型：同步测试

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一、选择题（共12小题）

1. 9 个人平均分 3 组，甲、乙必在一组，则不同的分组方法的种数为 ( )

A、70 B、140 C、280 D、840

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2. 有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人承担，乙、丙各需 1 人承担，从 10 人中选派 4 人承担这三项任务，不同的选法有 ( )

A、1260 种 B、2025 种 C、2520 种 D、5040 种

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3. 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）

A、140 种 B、80 种 C、70 种 D、35 种

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4. 从长度分别为 1，2，3，4，5 的 5 条线段中，任取 3 条不同的线段的取法共有 n 种．在这些取法中，以取出的 3 条线段为边可组成钝角三角形的个数为 m，则 $\frac{m}{n}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{2}{5}$

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5. 工作需要，现从4名女教师，5名男教师中选3名教师组成一个援川团队，要求男、女教师都有，则不同的组队方案种数为（）

A、140 B、100 C、80 D、70

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6. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）

A、120种 B、90种 C、60种 D、30种

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7. 若从 1，2，3，⋯，9 这 9 个整数中同时取 3 个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有 ( )

A、36 种 B、40 种 C、44 种 D、48 种

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8. 从装有 $n + 1$ 个不同小球的口袋中取出m个小球（ $0 < m \leq n$ ， $m ， n \in N^{*}$ ），共有 $C_{n + 1}^{m}$ 种取法，在这 $C_{n + 1}^{m}$ 种取法中，可以视作分成两类：第一类是某指定的小球未被取法取到，共有 $C_{1}^{0} C_{n}^{m}$ 种；第二类是某指定的小球被取到，共有 $C_{1}^{1} C_{n}^{m - 1}$ 种取法，显然 $C_{1}^{0} C_{n}^{m} + C_{1}^{1} C_{n}^{m - 1} = C_{n + 1}^{m}$ ，即有 $C_{n}^{m} + C_{n}^{m - 1} = C_{n + 1}^{m}$ 等式成立，试根据上述想法，下面式子 $C_{n}^{m} + C_{k}^{1} C_{n}^{m - 1} + C_{k}^{2} C_{n}^{m - 2} + \dots + C_{k}^{k} C_{n}^{m - k}$ （期中 $1 \leq k < m \leq n$ ， $k ， m ， n \in N^{*}$ ）等于（）

A、 $C_{n + k}^{m}$ B、 $C_{n + k + 1}^{m}$ C、 $C_{n + k}^{m + 1}$ D、 $C_{n + m}^{k}$

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9. 从3名男生和4名女生中各选2人组成一队参加数学建模比赛，则不同的选法种数是（）

A、12 B、18 C、35 D、36

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10. 学校体育组新买 2 颗同样篮球，3 颗同样排球，从中取出 4 颗发放给高一 4 个班，每班1颗，则不同的发放方法共 ( )

A、4 种 B、20 种 C、18 种 D、10 种

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11. 在平面直角坐标系中，已知 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ．若对于 $y$ 轴上的任意 $n$ 个不同的点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， …， $P_{n}$ ，总存在两个不同的点 $P_{i}$ ， $P_{j} (i ， j = 1 ， 2 ， \dots ， n)$ ，使得 $sin ∠ A P_{i} B - sin ∠ A P_{j} B \leq \frac{1}{4}$ ，则 $n$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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12. 假设在 200 件产品中有 3 件是次品，其余都是正品．现在从中取出 5 件产品，其中至少有 2 件是次品的取法种数是（）

A、 $C_{3}^{2} C_{198}^{3}$ B、 $C_{3}^{2} C_{197}^{3} + C_{3}^{3} C_{197}^{2}$ C、 $C_{3}^{2} C_{197}^{3}$ D、 $C_{200}^{5} - C_{197}^{5}$

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二、填空题（共5小题）

13. 圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数是．

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14. 凸n边形对角线的条数为．

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15. 对于无理数x，用 $x$ 表示与 $x$ 最接近的整数，如 $π = 3$ ， $\sqrt{3} = 2$ ．设 $n \in N^{*}$ ，对于区间 $(- \frac{1}{2} ， n + \frac{1}{2})$ 的无理数 $x$ ，定义 $C_{m}^{x} = C_{m}^{x}$ ，我们知道，若 $m \in N^{*}$ ， $n \in N^{*} (m \leq n)$ 和 $r \in N^{*} (r \leq n)$ ，则有以下两个恒等式成立：
① $C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$ ；

② $C_{m + 1}^{r} = C_{m}^{r} + C_{m}^{r - 1}$ ．

那么对于正整数 $n$ 和两个无理数 $m \in (0 ， n)$ ， $r \in (1 ， n)$ ，以下两个等式依然成立的序号是．

① $C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$ ；

② $C_{n + 1}^{r} = C_{n}^{r} + C_{n}^{r - 1}$ ．

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16. 组合数公式 $C_{n}^{m} + C_{n}^{m - 1} = C_{n + 1}^{m}$ 可以改写成 $C_{1}^{0} C_{n}^{m} + C_{1}^{1} C_{n}^{m + 1} = C_{n + 1}^{m}$ （其中 $1 \leq m \leq n$ ， $m ， n \in N^{*}$ ），这个等式可以理解为：从装有 $n + 1$ 个球的口袋中取出m个球 $(0 < m \leq n ， m ， n \in N^{*})$ 共有 $C_{n + 1}^{m}$ 种取法，在这 $C_{n + 1}^{m}$ 种取法中，可以分成一个指定的球被取到和未被取到两类．其中指定的球未被取到共有 $C_{1}^{0} C_{n}^{m}$ 种取法；指定的球被取到共有 $C_{1}^{1} C_{n}^{m + 1}$ 种取法．根据以上的思想方法可将 $C_{21}^{5} C_{25}^{25} + C_{21}^{6} C_{25}^{24} + \dots + C_{21}^{21} C_{25}^{9}$ 用一个组合数表示，这个组合数为．

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17. $C_{2}^{2} + C_{3}^{2} + \dots + C_{10}^{2} =$ ．

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三、解答题（共6小题）

18. 某旅游团要从8个风景点中选2个风景点作为当天的旅游地，求分别满足以下条件的选法的种数．

(1)、甲乙风景点中至少选一个．

(2)、甲乙风景点中至多选一个．

(3)、甲乙风景点中必须选一个，而且只能选一个．

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19. 从5个男生和3个女生中选5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的选法种数．

(1)、女生人数少于男生人数；

(2)、某女生一定选中且担任语文课代表，某男生也必须选中且不担任数学课代表．

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20. 以一个正方体的顶点为顶点能组成多少个三棱锥?

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21. 某城市由n条东西方向的街道和m条南北方向的街道组成一个矩形街道网，要从A处走到 B处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法?

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22. 规定 $C_{x}^{m} = \frac{x \cdot (x - 1) \dots (x - m + 1)}{m!}$ ，其中 $x \in R$ ， $m$ 是正整数，且 $C_{x}^{0} = 1$ ，这是组合数 $C_{n}^{m}$ （ $n$ ， $m$ 是正整数，且 $m \leq n$ ）的一种推广．

(1)、求 $C_{- 15}^{3}$ 的值．

(2)、设 $x > 0$ ，当 $x$ 为何值时， $\frac{C_{x}^{3}}{{(C_{x}^{1})}^{2}}$ 取最小值?

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23. 第 21 届世界杯足球赛将于 2018 年夏季在俄罗斯举办，共 32 支球队有幸参加，它们先分成 8 个小组进行循环赛，决出 16 强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级 16 强），这 16 支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这届世界杯总共将进行多少场比赛?

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人教A版（2019）选择性必修第三册 6.2.3 组合

一、 选择题（共12小题）

二、填空题（共5小题）

三、解答题（共6小题）

一、选择题（共12小题）