人教A版（2019）必修第二册《7.2复数的四则运算》同步练习

试卷更新日期：2023-02-15 类型：同步测试

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一、单选题（本大题共15小题，共75分）

1. 已知 $x$ ， $y \in R$ ， $i$ 为虚数单位，且 $(x - 2) i - y = - 1 + i$ ，则 ${(1 + i)}^{x + y}$ 的值为（）

A、4 B、-4 C、 $4 + 4i$ D、 $2i$

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2. 设 $\frac{2 + i}{i + 1} - 2i = a + bi (a ， b \in R ， i$ 为虚数单位 $)$ ，则 $b - ai$ 的表达式为（）

A、 $- \frac{5}{2} - \frac{3}{2} i$ B、 $\frac{5}{2} - \frac{3}{2} i$ C、 $\frac{5}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $- \frac{5}{2} + \frac{3}{2} i$

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3. $i$ 是虚数单位，计算 $i + i^{2} + i^{3} =$ （）

A、-1 B、1 C、 $- i$ D、 $i$

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4. 设复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面内的点关于实轴对称， $z_{1} = 1 + i$ ，则 $\frac{z_{1}}{z_{2}} =$ （）

A、 $- i$ B、 $i$ C、-1 D、1

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5. 若复数 $z_{1}$ 对应复平面内的点 $(2 ， - 3)$ ，且 $z_{1} \cdot z_{2} = 1 + i$ ，则复数 $z_{2}$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{5}{13}$ B、 $\frac{5}{13}$ C、 $- \frac{1}{13}$ D、 $\frac{1}{13}$

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6. 计算复数 $\frac{4i}{1 + i}$ 得（）

A、 $2 + 2i$ B、 $2 - 2i$ C、 $- 2 + 2i$ D、 $- 2 - 2i$

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7. 已知复数 $z_{1} = 1 - i$ ，则复数 $z_{2} = \frac{z_{1} + 1}{z_{1} - 1}$ 的虚部是（）

A、 $2i$ B、 $- 2i$ C、2 D、-2

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8. 复数 $\frac{1 - i}{1 + i} + 1$ 的虚部是（）

A、 $- i$ B、-1 C、 $1 - i$ D、1

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9. 已知复数 $z = \frac{2 + i}{1 - i}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{3}{2} i$ B、 $- \frac{3}{2} i$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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10. 若复数 $Z = \frac{a + i}{1 + i}$ 的实部与虚部相等，则实数 $a$ 的值为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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11. 在复平面内，复数 $z = \frac{3i}{- 1 + 2i}$ 的共轭复数的虚部为 $($ $) .$

A、 $\frac{3}{5} i$ B、 $- \frac{3}{5} i$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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12. 若复数 $\frac{a + 3i}{1 + 2i} (i$ 是虚数单位 $)$ 是纯虚数，则其虚部为（）

A、-6 B、 $- 6i$ C、3 D、 $3i$

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13. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是 $(1, 2)$ ，则 $i \cdot z =$ （）．

A、 $1 + 2 i$ B、 $- 2 + i$ C、 $1 - 2 i$ D、 $- 2 - i$

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14. 如图，在复平面内，复数 $z$ 对应的点为 $P$ ，则复数 $\frac{z}{i}$ 的虚部为（）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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15. 设复数 $z = 2 - i$ ，则 $z$ 的实部为（）

A、-1 B、2 C、-2 D、 $i$

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二、填空题（本大题共5小题，共25分）

16. 若复数 $z$ 满足 $(1 - 3i) z = 3 + i$ ，其中 $i$ 是虚数单位， $z =$ ．

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17. $(6 + 2i) - (3i - 1) =$ .

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18. 若 $z = 1 + i (i$ 是虚数单位 $)$ ，则 $| z | =$ ， $z + \frac{2}{z} =$ .

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19. 已知 $\frac{2 + i}{1 + ai} = i$ ，其中 $i$ 为虚数单位， $a \in R$ ，则 $a =$ ．

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20. 复数 $z = \frac{3 - i}{1 - i}$ 的共轭复数是．

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三、多选题（本大题共5小题，共20分）

21. 设 $f (n) = {(\frac{1 + i}{1 - i})}^{n} + {(\frac{1 - i}{1 + i})}^{n} (n \in N)$ ，则集合 ${ x| x = f (n)}$ 的元素有 $($ $)$

A、2 B、0 C、-2 D、1

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22. 复数z满足 $(2 - 3 i) \cdot z = (2 + 3 i) (3 + 2 i)$ ，则下列说法正确的是（）

A、z的实部为3 B、z的虚部为2 C、 $\bar{z} = - 3 + 2 i$ D、 $| z | = \sqrt{13}$

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23. 已知复数 $z = - 1 + \sqrt{3} i$ ， $- z$ 为 $z$ 的共轭复数，若复数 $w = \frac{- z}{} z$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $w$ 在复平面内对应的点位于第二象限 B、 $z > - z$ C、 $w$ 的实数为 $- \frac{1}{2}$ D、 $w$ 的虚部为 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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24. 已知复数 $z_{1} = 1 + i ， z_{2} = 1 - i$ ，则（）

A、 $| z_{1} | = 2$ B、 $z_{1} = z_{2}$ C、 $z_{1}$ 的虚部为 $i$ D、在复平面内，满足方程 $| z - z_{1} | + | z - z_{2} | = 3$ 的的复数 $z$ 对应的点的轨迹为椭圆

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25. 下列四个命题中，真命题为（）

A、若复数 $z$ 满足 $\bar{z} \in R$ ，则 $z \in R$ B、若复数 $z$ 满足 $\frac{1}{z} \in R$ ，则 $z \in R$ C、若复数 $z$ 满足 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ D、若复数 $z$ 满足 $z + \bar{z} = 0$ ，则 $z \in R$

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四、解答题（本大题共6小题，共30分）

26. 已知 $z_{1} = 2 + i$ ， $øverline z_{1} \cdot z_{2} = 6 + 2i$ ，

(1)、求 $z_{2}$ ；

(2)、若 $z = \frac{z_{1}}{z_{2}}$ ，求 $z$ 的模．

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27. 已知复数 $Z_{1}$ 满足 $(Z_{1} - 2) (1 + i) = 1 - i (i$ 为虚数单位 $)$ ，复数 $Z_{2}$ 的虚部为 $1$ ， $Z_{1} \cdot Z_{2}$ 是实数，求 $Z_{2} .$

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28. 设 $z_{1} = 1 + 3i$ ， $z_{2} = x + yi (x \in R ， y \in R) .$

(1)、若 $\frac{z_{1}}{z_{2}} = 1 + i$ ，求 $x$ ， $y$ 的值；

(2)、若 $| z_{2} - z_{1} | = 3$ ，求 $| z_{2} |$ 的取值范围．

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29. 求一个复数 $z$ ，使 $z - \frac{25}{z}$ 为纯虚数，且 $| z - 3 | = 4.$

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30. 已知复数 $z$ 的共轭复数是z， $i$ 是虚数单位，且满足 $z + 2 z = \frac{5 + i}{1 + i} .$

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、若复数 $z (2 - mi)$ 在复平面内对应的点在第一象限，求实数 $m$ 的取值范围.

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31. 已知复数 $z_{1} = 3 + i$ 及复数 $z_{2} = 4 + 3i .$

(1)、求 $z_{1} - z_{2}$ ，并在复平面内用向量表示出其运算的几何意义．

(2)、求 $\frac{z_{2}}{z_{1}} .$

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