人教A版（2019）必修第二册《6.3平面向量基本定理及坐标表示》同步练习

试卷更新日期：2023-02-15 类型：同步测试

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一、单选题（本大题共15小题，共75分）

1. 在 $△ A B C$ 中， $| \vec{A B} | = | \vec{A C} | = 2$ ， $∠ A = 120 °$ ，点 $M$ 满足 $\vec{A M} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ， $λ + 2 μ = 1$ ，则 $| \vec{A M} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{14}$ C、2 D、1

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2. 在 $Δ ABC$ 中， $H$ 为 $BC$ 上异于 $B$ ， $C$ 的任一点， $M$ 为 $AH$ 的中点，若 $\vec{AM} = λ \vec{AB} + μ \vec{AC}$ ，则 $λ + μ$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{3}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， - 5)$ ， $\vec{a} + \vec{b} = (- 1 ， 2)$ ，则 $\vec{b} =$ （）

A、 $(- 4 ， 7)$ B、 $(- 4 ， - 3)$ C、 $(- 2 ， - 3)$ D、 $(- 2 ， 7)$

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4. 如图，在 $Δ ABC$ 中， $\vec{AD} = \frac{2}{3} \vec{AC}$ ， $\vec{BP} = \frac{1}{3} \vec{PD}$ ，若 $\vec{AP} = λ \vec{AB} + μ \vec{AC}$ ，则 $λ + μ$ 的值为（）

A、 $\frac{11}{12}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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5. 设 $\vec{a} = (1 ， λ)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 3)$ ，若 $\vec{a} / / (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、1 D、1或5

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6. 在平行四边形"ABCD"中，设M为线段"BC"上靠近B的三等分点，N为线段"AD"上靠近D的三等分点， $\vec{AB} = \vec{a}$ ， $\vec{AD} = \vec{b}$ ，则向量 $\vec{NM} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \vec{b}$ B、 $\vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{b} - \vec{a}$ D、 $\vec{b} - \frac{1}{3} \vec{a}$

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7. 在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点 $D$ ，若 $| \vec{A B} | = 3 | \vec{A C} |$ ，则 $\vec{A D} = ()$

A、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$

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8. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (0 ， 1)$ ， $(\vec{a} + k \vec{b}) \cdot \vec{b} = 3$ ，则 $k = ()$

A、-2 B、2 C、-4 D、4

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9. $\vec{e_{1}}$ 和 $\vec{e_{2}}$ 是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四个向量中，不能作为一组基底的是 $()$

A、 $3 \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ 和 $4 \vec{e_{2}} - 6 \vec{e_{1}}$ B、 $\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ C、 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{2}} + 2 \vec{e_{1}}$ D、 $\vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{2}} + \vec{e_{1}}$

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10. 平行四边形 $ABCD$ 的对角线相交于点 $O$ ，设 $\vec{AB} = \vec{a}$ ， $\vec{BC} = \vec{b}$ ，则向量 $\vec{DO} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$

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11. 在 $Δ OAB$ 中， $C$ 为 $AB$ 的中点， $D$ 为 $OA$ 边上离点 $O$ 最近的一个四等分点．若 $\vec{OA} = \vec{a}$ ， $\vec{OB} = \vec{b}$ ，则 $\vec{CD} =$ （）

A、 $- \frac{1}{4} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b}$

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12. 已知点 $\vec{AB} = (0 ， 1) ， A (3 ， 2)$ ，向量 $\vec{BC} = (- 1 ， 2)$ ，则点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(2 ， 5)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(3 ， 2)$ D、 $(4 ， 2)$

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13. 已知 $| \vec{O A} | = 1$ ， $| \vec{O B} | = \sqrt{3}$ ， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ，点 $C$ 在 $∠ A O B$ 内，且 $∠ A O C = 60 °$ ，设 $\vec{O C} = m \vec{O A} + n \vec{O B} (m ， n \in R)$ ，则 $\frac{m}{n} = ()$

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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14. 如图，直角梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B / / C D$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $A D = A B = 2$ ， $C D = 1$ ，动点 $P$ 在线段 $B C$ 上运动，且 $\vec{A P} = m \vec{A B} + n \vec{A D} (m ， n \in R)$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值是 $()$

A、3 B、 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 + 2 \sqrt{2}$

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15. 如图，梯形 $ABCD$ 中， $AB//CD$ ，且 $AB = 2CD$ ，对角线 $AC$ 、 $DB$ 相交于点 $O .$ 若 $\vec{AD} = \vec{a}$ ， $\vec{AB} = \vec{b}$ ， $\vec{OC} =$ （）

A、 $\frac{\vec{a}}{3} - \frac{\vec{b}}{6}$ B、 $\frac{\vec{a}}{3} + \frac{\vec{b}}{6}$ C、 $\frac{2 \vec{a}}{3} + \frac{\vec{b}}{3}$ D、 $\frac{2 \vec{a}}{3} - \frac{\vec{b}}{3}$

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二、填空题（本大题共5小题，共25分）

16. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 2)$ ， $\vec{c} = (- 1 ， λ) .$ 若 $\vec{c} // (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则 $λ =$ ．

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17. 已知向量 $\vec{a} = (4 ， m)$ ， $\vec{b} = (2 ， n)$ ， $\vec{c} = (- 2 ， 1)$ ，其中 $m$ ， $n \in R$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{a} / / \vec{c}$ ，则 $n =$ .

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18. 已知 $a = (1 ， 3)$ ， $b = (1 ， 1)$ ， $c = a + λb$ ， $a$ 和 $c$ 的夹角是锐角，则实数 $λ$ 的取值范围是.

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19. $Δ ABC$ 的边 $AB$ ， $AC$ 上分别取点 $M$ ， $N$ ，使 $\vec{AM} = \frac{1}{3} \vec{AB}$ ， $\vec{AN} = \frac{1}{2} \vec{AC}$ ， $BN$ 与 $CM$ 交于点 $P$ ，若 $\vec{BP} = λ \vec{PN}$ ， $\vec{PM} = μ \vec{CP}$ ，则 $\frac{λ}{μ}$ 的值为．

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三、多选题（本大题共5小题，共20分）

20. 已知向量 $\vec{a} = (t ， 1) ， \vec{b} = (2 ， t - 1)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $t =$ ；若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $t =$ .

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21. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 2 ， 1)$ ， $\vec{c} = (2 ， t)$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $(\vec{a} + \vec{b}) / / \vec{c}$ ，则 $t = 6$ B、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则 $t = \frac{2}{3}$ C、若 $t = 1$ ，则 $cos 〈 \vec{a} ， \vec{c} 〉 = \frac{4}{5}$ D、若向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{c}$ 夹角为锐角，则 $t > - 1$

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22. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 3)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} // \vec{b}$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 可以作为基底 C、 $\vec{a} + \vec{b} = 0$ D、 $\vec{b} - \vec{a}$ 与 $\vec{a}$ 方向相反

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23. 在 $Δ ABC$ 中， $\vec{AB} = (2 ， 3) ， \vec{AC} = (1 ， k)$ ，若 $Δ ABC$ 是直角三角形，则 $k$ 的值可以是（）

A、-1 B、 $\frac{11}{3}$ C、 $\frac{3 + \sqrt{13}}{2}$ D、 $\frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

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24. 下列说法正确的是（）

A、长度相等的向量叫相等向量 B、零向量的长度为零 C、共线向量是在一条直线上的向量 D、平行向量就是向量所在的直线平行或者共线的向量

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25. 如图，正方形 $ABCD$ 的中心与圆 $O$ 的圆心重合， $P$ 是圆 $O$ 上的动点，则下列叙述正确的是（）

A、 $\vec{PA} . \vec{PC} + \vec{PB} . \vec{PD}$ 是定值. B、 $\vec{PA} . \vec{PB} + \vec{PB} . \vec{PC} + \vec{PC} . \vec{PD} + \vec{PD} . \vec{PA}$ 是定值. C、 $| \vec{PA} | + | \vec{PB} | + | \vec{PC} | + | \vec{PD} |$ 是定值. D、 ${\vec{PA}}^{2} + {\vec{PB}}^{2} + {\vec{PC}}^{2} + {\vec{PD}}^{2}$ 是定值.

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四、解答题（本大题共6小题，共30分）

26. 已知向量 $\vec{a} = (- 3 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 2)$ ， $\vec{m} = \vec{a} + k \vec{b} (k \in R)$ 。

(1)、若 $\vec{m}$ 与向量 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，求实数 $k$ 的值；

(2)、若向量 $\vec{c} = (1 ， - 1)$ ，且 $\vec{m}$ 与向量 $k \vec{b} + \vec{c}$ 平行，求实数 $k$ 的值。

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27. 已知 $\vec{a} = (1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 1)$ ，将向量 $\vec{c} = (2 ， 3)$ 表示成 $x \vec{a} + y \vec{b}$ 的形式．

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28. 已知 $\vec{m} = (cosα ， sinα) ， \vec{n} = (\sqrt{3} ， - 1) ， α \in (0 ， π) .$

(1)、若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，求角 $α$ 的值；

(2)、求 $| \vec{m} + \vec{n} |$ 的最小值.

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29. 已知 $A (1 ， 1) ， B (3 ， - 2) ， C (m ， 0)$

(1)、若 $A ， B ， C$ 三点共线，求 $m$ 的值；

(2)、若 $∠ ACB = \frac{π}{2}$ ，求 $m$ 的值。

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30. 如图，在 $Δ OAB$ 中，延长 $BA$ 到 $C$ ，使 $AC = BA$ ，在 $OB$ 上取点 $D$ ，使 $DB = \frac{1}{3} OB$ ， $DC$ 与 $OA$ 交于 $E$ ，设 $\vec{OA} = \vec{a}$ ， $\vec{OB} = \vec{b}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{OC}$ ， $\vec{DC}$ ， $\vec{DE} .$

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31. 如图，在▱ $ABCD$ 中， $M$ 为 $DC$ 的中点， $N$ 为 $BC$ 的中点．设 $\vec{AB} = \vec{b}$ ， $\vec{AD} = \vec{d}$ ， $\vec{AM} = \vec{m}$ ， $\vec{AN} = \vec{n} .$

(1)、用 $\vec{b}$ 和 $\vec{d}$ 表示向量 $\vec{MN}$ ；

(2)、用 $\vec{m}$ 和 $\vec{n}$ 表示向量 $\vec{AB} .$

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