2023年中考数学精选真题实战测试42 矩形 B

试卷更新日期：2023-02-14 类型：二轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 下列命题中，是真命题的有（）
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形②对角线互相垂直的四边形是菱形③四边相等的四边形是正方形④四边相等的四边形是菱形

A、①② B、①④ C、②③ D、③④

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2. 在如图所示的 $R t △ A B C$ 纸片中， $∠ A C B = 90 °$ ， D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若 $A E ∥ D C$ ， $∠ B = α$ ，则 $∠ E A C$ 等于（）

A、 $α$ B、 $90 ° - α$ C、 $\frac{1}{2} α$ D、 $90 ° - 2 α$

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3. 将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）

A、正方形纸片的面积 B、四边形EFGH的面积 C、△BEF的面积 D、△AEH的面积

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4. 如图，矩形纸片 $A B C D$ ， $A D ： A B = \sqrt{2} ： 1$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在 $A D$ ， $B C$ 上，把纸片如图沿 $E F$ 折叠，点 $A$ ， $B$ 的对应点分别为 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ，连接 $A A^{'}$ 并延长交线段 $C D$ 于点 $G$ ，则 $\frac{E F}{A G}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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5. 如图，点 $E ， F$ 在矩形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 所在的直线上， $B E = D F$ ，则四边形 $A E C F$ 是（）

A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形

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6. 如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于 $\frac{1}{2} B D$ 的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN.若 $A D = 4$ ， $A B = 2$ .则四边形MBND的周长为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、5 C、10 D、20

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7. 如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE=AD，DF=2，则BD的长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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8. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.点E、F分别是AB，AO的中点，且AC＝8，则EF的长度为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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9. 如图，将矩形纸片 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠后，点D、C分别落在点 $D_{1}$ 、 $C_{1}$ 的位置， $E D_{1}$ 的延长线交 $B C$ 于点G，若 $∠ E F G = 64 °$ ，则 $∠ E G B$ 等于（）

A、 $128 °$ B、 $130 °$ C、 $132 °$ D、 $136 °$

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，P是边 $A D$ 上的一个动点，连接 $B P$ ， $C P$ ，过点B作射线，交线段 $C P$ 的延长线于点E，交边 $A D$ 于点M，且使得 $∠ A B E = ∠ C B P$ ，如果 $A B = 2$ ， $B C = 5$ ， $A P = x$ ， $P M = y$ ，其中 $2 < x ⩽ 5$ ．则下列结论中，正确的个数为（）
⑴y与x的关系式为 $y = x - \frac{4}{x}$ ；（2）当 $A P = 4$ 时， $△ A B P ∽ △ D P C$ ；（3）当 $A P = 4$ 时， $t a n ∠ E B P = \frac{3}{5}$ ．

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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二、填空题（每空3分，共18分）

11. 已知矩形的一边长为 $6 c m$ ，一条对角线的长为 $10 c m$ ，则矩形的面积为 $c m^{2}$ .

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12. 如图，对折矩形纸片 $A B C D$ ，使得 $A D$ 与 $B C$ 重合，得到折痕 $E F$ ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点 $A^{'}$ 落在 $E F$ 上，并使折痕经过点B，得到折痕 $B M$ ．连接 $M F$ ，若 $M F ⊥ B M$ ， $A B = 6 c m$ ，则 $A D$ 的长是 $c m$ ．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ，点D，E分别是 $A B ， A C$ 边上的中点，连接 $C D ， D E$ .如果 $A B = 5 m$ ， $B C = 3 m$ ，那么 $C D + D E$ 的长是m.

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14. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C$ ， $A D ∥ B C$ ，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形 $A B C D$ 成为一个矩形，只需添加的一个条件是.

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15. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 8 ， B C = 6$ ，E，F分别是AD，AB的中点， $∠ A D C$ 的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则 $△ P E F$ 的周长最小值为.

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16. 如图，在矩形ABCD中 $\frac{A B}{B C} = \frac{2}{3}$ .动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN.动点M，N同时出发，点M运动的速度为 $v_{1}$ ，点N运动的速度为 $v_{2}$ ，且 $v_{1} < v_{2}$ .当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动.在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形 $M A^{'} B^{'} N$ .若在某一时刻，点B的对应点 $B^{'}$ 恰好在CD的中点重合，则 $\frac{v_{1}}{v_{2}}$ 的值为.

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90°

(1)、求证：四边形ABDF是矩形；

(2)、若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S．

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18. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $M$ 在 $D C$ 上， $A M = A B$ ，且 $B N ⊥ A M$ ，垂足为 $N$ .

(1)、求证： $△ A B N ≌ △ M A D$ ；

(2)、若 $A D = 2 ， A N = 4$ ，求四边形 $B C M N$ 的面积.

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19. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 上一点，连接 $B E$ ， $B E$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $C D$ 于点 $N$ ，垂足为 $O$ ，点 $F$ 在 $D C$ 上，且 $M F ∥ A D$ .

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ F M N$ ；

(2)、若 $A B = 8$ ， $A E = 6$ ，求 $O N$ 的长.

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20. 如图，在矩形ABCD中，AB= $\frac{1}{2}$ BC，点F在BC边的延长线上，点P是线段BC上一点（与点B，C不重合），连接AP并延长，过点C作CG⊥AP，垂足为E．

(1)、若CG为∠DCF的平分线．请判断BP与CP的数量关系，并证明；

(2)、若AB=3，△ABP≌△CEP，求BP的长．

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21. 如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线.

(1)、求证：AF与DE互相平分；

(2)、当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由.

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22. 已知矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点O，点E是边 $A D$ 上一点，连接 $B E ， C E ， O E$ ，且 $B E = C E$ ．

(1)、如图1，求证： $△ B E O ≌ △ C E O$ ；

(2)、如图2，设 $B E$ 与 $A C$ 相交于点F， $C E$ 与 $B D$ 相交于点H，过点D作 $A C$ 的平行线交 $B E$ 的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（ $△ A E F$ 除外），使写出的每个三角形的面积都与 $△ A E F$ 的面积相等．

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23. 【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形 $A B C D$ 为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中 $A D = \sqrt{2} A B$ ．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在 $A D$ 上，点B的对应点为点E，折痕为 $A F$ ；再沿过点F的直线折叠，使点C落在 $E F$ 上，点C的对应点为点H，折痕为 $F G$ ；然后连结 $A G$ ，沿 $A G$ 所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想 $△ A D G ≌ △ A F G$ ．

(1)、【问题解决】
小亮对上面 $△ A D G ≌ △ A F G$ 的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：

证明：四边形 $A B C D$ 是矩形，

∴ $∠ B A D = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 90 °$ ．

由折叠可知， $∠ B A F = \frac{1}{2} ∠ B A D = 45 °$ ， $∠ B F A = ∠ E F A$ ．

∴ $∠ E F A = ∠ B F A = 45 °$ ．

∴ $A F = \sqrt{2} A B = A D$ ．

请你补全余下的证明过程．

(2)、【结论应用】
$∠ D A G$ 的度数为度， $\frac{F G}{A F}$ 的值为；

(3)、在图①的条件下，点P在线段 $A F$ 上，且 $A P = \frac{1}{2} A B$ ，点Q在线段 $A G$ 上，连结 $F Q$ 、 $P Q$ ，如图②，设 $A B = a$ ，则 $F Q + P Q$ 的最小值为．（用含a的代数式表示）

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24. 将一个矩形纸片 $O A B C$ 放置在平面直角坐标系中，点 $O (0 ， 0)$ ，点 $A (3 ， 0)$ ，点 $C (0 ， 6)$ ，点P在边 $O C$ 上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且 $∠ O P Q = 30 °$ ，点O的对应点 $O^{'}$ 落在第一象限．设 $O Q = t$ ．

(1)、如图①，当 $t = 1$ 时，求 $∠ O^{'} Q A$ 的大小和点 $O^{'}$ 的坐标；

(2)、如图②，若折叠后重合部分为四边形， $O^{'} Q ， O^{'} P$ 分别与边 $A B$ 相交于点E，F，试用含有t的式子表示 $O^{'} E$ 的长，并直接写出t的取值范围；

(3)、若折叠后重合部分的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，则t的值可以是（请直接写出两个不同的值即可）．

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