2023年中考数学精选真题实战测试41 矩形 A

试卷更新日期：2023-02-14 类型：二轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 在下列条件中，能够判定 $▱ A B C D$ 为矩形的是（）

A、 $A B = A C$ B、 $A C ⊥ B D$ C、 $A B = A D$ D、 $A C = B D$

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C$ 的平分线交 $B C$ 于点 $D$ ， $E$ 为 $A C$ 的中点，若 $A B = 10$ ，则 $D E$ 的长是（）

A、8 B、6 C、5 D、4

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3. 要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（）

A、测量两条对角线是否相等 B、度量两个角是否是90° C、测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D、测量两组对边是否分别相等

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4. 如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋ $\sqrt{3}$ ．则四边形EFGH的周长为（）

A、 $4 (2 + \sqrt{6})$ B、 $4 (\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1)$ C、 $8 (\sqrt{2} + \sqrt{3})$ D、 $4 (\sqrt{2} + \sqrt{6} + 2)$

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5. 如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知 $∠ A B C = 36 °$ ，则 $∠ D_{1} A D =$ （）

A、48° B、66° C、72° D、78°

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6. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D > A B$ ，点E，F分别在 $A D ， B C$ 边上， $E F ∥ A B ， A E = A B$ ， AF与 $B E$ 相交于点O，连接 $O C$ ，若 $B F = 2 C F$ ，则 $O C$ 与 $E F$ 之间的数量关系正确的是（）

A、 $2 O C = \sqrt{5} E F$ B、 $\sqrt{5} O C = 2 E F$ C、 $2 O C = \sqrt{3} E F$ D、 $O C = E F$

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7. 如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB=6，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（）

A、BD=10 B、HG=2 C、EG∥FH D、GF⊥BC

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8. 如图，点E在矩形 $A B C D$ 的 $A B$ 边上，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折，点A恰好落在 $B C$ 边上的点F处，若 $C D = 3 B F$ ， $B E = 4$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、9 B、12 C、15 D、18

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9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，AB交x轴于点E， $A F ⊥ x$ 轴，垂足为F．若 $O E = 3$ ， $E F = 1$ ．以下结论正确的个数是（）
① $O A = 3 A F$ ；②AE平分 $∠ O A F$ ；③点C的坐标为 $(- 4 ， - \sqrt{2})$ ；④ $B D = 6 \sqrt{3}$ ；⑤矩形ABCD的面积为 $24 \sqrt{2}$ ．

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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10. 如图，将矩形 $A B C D$ 沿着 $G E$ 、 $E C$ 、 $G F$ 翻折，使得点 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 恰好都落在点 $O$ 处，且点 $G$ 、 $O$ 、 $C$ 在同一条直线上，同时点 $E$ 、 $O$ 、 $F$ 在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：
① $G F ∥ E C$ ；② $A B = \frac{4 \sqrt{3}}{5} A D$ ；③ $G E = \sqrt{6} D F$ ；④ $O C = 2 \sqrt{2} O F$ ；⑤ $△ C O F ∽ △ C E G$ .

其中正确的是（）

A、①②③ B、①③④ C、①④⑤ D、②③④

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二、填空题（每空3分，共18分）

11. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A B D$ 中， $∠ A C B = ∠ A D B = 90 °$ ， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别为 $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$ 的中点，若 $D E = 1$ ，则 $F G =$ ．

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12. 如图矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为．

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13. 如图， △ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′ ，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为 ${cm}^{2}$ ．

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14. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 4$ ， $E$ 、 $F$ 分别是边 $B C$ 、 $C D$ 上一点， $E F ⊥ A E$ ，将 $△ E C F$ 沿 $E F$ 翻折得 $△ E C^{'} F$ ，连接 $A C^{'}$ ，当 $B E =$ 时， $△ A E C^{'}$ 是以 $A E$ 为腰的等腰三角形.

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B$ =6， $B C$ =8，点 $M$ 、 $N$ 分别是边 $A D$ 、 $B C$ 的中点，某一时刻，动点 $E$ 从点 $M$ 出发，沿 $M A$ 方向以每秒2个单位长度的速度向点 $A$ 匀速运动；同时，动点 $F$ 从点 $N$ 出发，沿 $N C$ 方向以每秒1个单位长度的速度向点 $C$ 匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接 $E F$ ，过点 $B$ 作 $E F$ 的垂线，垂足为 $H$ .在这一运动过程中，点 $H$ 所经过的路径长是.

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， A D = 5$ ，点E，F分别是边 $A B ， B C$ 上的动点，点E不与A，B重合，且 $E F = A B$ ，G是五边形 $A E F C D$ 内满足 $G E = G F$ 且 $∠ E G F = 90 °$ 的点.现给出以下结论：
① $∠ G E B$ 与 $∠ G F B$ 一定互补；

②点G到边 $A B ， B C$ 的距离一定相等；

③点G到边 $A D ， D C$ 的距离可能相等；

④点G到边 $A B$ 的距离的最大值为 $2 \sqrt{2}$ .

其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF=∠BDC、∠DCF=∠ACD.

(1)、求证：DF=CF；

(2)、若∠CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面积.

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18. 如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F.

(1)、求证： $△ D A F ≌ △ E C F$ ；

(2)、若 $∠ F C E = 40 °$ ，求 $∠ C A B$ 的度数.

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19. 如图，将一张长方形纸片 $A B C D$ 沿 $E$ 折叠，使 $C ， A$ 两点重合.点 $D$ 落在点 $G$ 处.已知 $A B =4$ ， $B C = 8$ .

(1)、求证： $Δ A E F$ 是等腰三角形；

(2)、求线段 $F D$ 的长.

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20. 如图， $△ O A D$ 为等腰直角三角形，延长 $O A$ 至点B使 $O B = O D$ ，其对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点E.

(1)、求证： $△ O A F ≌ △ D A B$ ；

(2)、求 $\frac{D F}{A F}$ 的值.

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21. 如图：

(1)、将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放．
①判断四边形AGCH的形状，并说明理由；
②求四边形AGCH的面积．

(2)、如图2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2 $\sqrt{5}$ ， BC＝7，CF＝ $\sqrt{5}$ ，求四边形AGCH的面积．

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22. 在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D$ 的平分线 $A F$ 交 $B C$ 于 $F$ ，延长 $A B$ 到 $E$ 使 $B E = F C$ ， $G$ 是 $A F$ 的中点， $G E$ 交 $B C$ 于 $O$ ，连接 $G D$ .

(1)、当四边形 $A B C D$ 是矩形时，如图，求证：① $G E = G D$ ；② $B O \cdot G D = G O \cdot F C$ .

(2)、当四边形 $A B C D$ 是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明.

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23. 问题背景：
如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A B D = 30 °$ ，点E是边AB的中点，过点 $E$ 作 $E F ⊥ A B$ 交BD于点F．

(1)、实验探究：
在一次数学活动中，小王同学将图1中的 $△ B E F$ 绕点 $B$ 按逆时针方向旋转 $90 °$ ，如图2所示，得到结论：① $\frac{A E}{D F} =$ ；②直线AE与DF所夹锐角的度数为．

(2)、小王同学继续将 $△ B E F$ 绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．

(3)、拓展延伸：
在以上探究中，当 $△ B E F$ 旋转至 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 三点共线时，则 $△ A D E$ 的面积为．

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24. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 4$ ，F是对角线 $A C$ 上不与点A，C重合的一点，过F作 $F E ⊥ A D$ 于E，将 $△ A E F$ 沿 $E F$ 翻折得到 $△ G E F$ ，点G在射线 $A D$ 上，连接 $C G$ .

(1)、如图1，若点A的对称点G落在 $A D$ 上， $∠ F G C = 90 °$ ，延长 $G F$ 交 $A B$ 于H，连接 $C H$ .

①求证： $△ C D G ∽ △ G A H$ ；

②求 $\tan ∠ G H C$ .

(2)、如图2，若点A的对称点G落在 $A D$ 延长线上， $∠ G C F = 90 °$ ，判断 $△ G C F$ 与 $△ A E F$ 是否全等，并说明理由.

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