陕西省咸阳市武功县2022-2023学年九年级上学期期末质量检测数学试题

试卷更新日期：2023-02-14 类型：期末考试

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一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．）

1. 已知x=3是关于x的一元二次方程 $x^{2} - 3 a = 0$ 的一个解，则a的值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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2. 某几何体的主视图为正方形，则该几何体不可能是（）

A、正方体 B、圆柱 C、圆锥 D、长方体

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3. 如图是一架梯子的示意图，其中 $A A_{1} ∥ B B_{1} ∥ C C_{1} ∥ D D_{1}$ ，且AB=BC=CD，为了使其更加稳固，在A，D₁间加绑一条安全绳（线段AD₁），量得AE=0.4m，则AD₁的长为（）

A、1.2m B、1m C、0.8m D、0.6m

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4. 关于反比例函数 $y = - \frac{8}{x}$ 的图象，下列说法错误的是（）

A、该反比例函数图象经过点（2，-4） B、在每一象限内，y随x的增大而增大 C、该反比例函数图象经过第一、三象限 D、该反比例函数图象关于原点对称

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5. 如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列结论中，不正确的是（）

A、当AB⊥AD时，四边形ABCD是矩形 B、当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C、当OA=OB时，四边形ABCD是矩形 D、当AB=AC时，四边形ABCD是菱形

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6. 某校甲、乙、丙、丁四名同学在运动会上参加4×100米接力比赛，先从四人中随机选择一人跑第一棒，再从剩下的三人中随机选择一人跑第二棒，其中选择甲跑第一棒，乙跑第二棒的概率是（）

A、 $\frac{1}{24}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示 $s i n A$ 的式子为（）

A、 $\frac{B D}{A B}$ B、 $\frac{C D}{O C}$ C、 $\frac{A E}{A D}$ D、 $\frac{B E}{O B}$

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8. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + m = 0$ 没有实数根，点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ 是反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象上的两个点，若x₁<x₂<0，则y₁、y₂的大小关系为（）

A、y₁>y₂ B、y₁<y₂ C、y₁=y₂ D、不能确定

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二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9. 一个矩形窗框在太阳光下的投影形状可能是．（写出一种即可）

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10. 若m、n是一元二次方程 $2 x^{2} - 2022 x + 5 = 0$ 的两个根，则 $m + n$ 的值为．

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11. 如图，AB与CD相交于点O，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，若AC=10，OC=15，则 $t a n B$ 的值为．

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12. 如图，已知点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，连接AO并延长，交该反比例函数第三象限内的图象于点B，分别过点A、B作x轴、y轴的平行线AC、BC，若△ABC的面积为8，则k的值为．

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13. 如图，四边形ABCD是正方形，AB=6，E是BC的中点，连接DE，DE的垂直平分线分别交AB、DE、CD于点M、O、N，连接EN，过E作EF⊥EN交AB于点F，则AF的长为．

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三、解答题（共13小题，计81分．）

14. 计算： $s i n 45 ° + 2 c o s 30 ° - t a n 60 °$ ．

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15. 解方程： $x^{2} + 6 x + 3 = 0$ ．

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16. 在一个不透明的盒子中装有白色、黑色棋子共60个，这些棋子除颜色外其他完全相同，茜茜每次将棋子搅拌均匀后，任意摸出一个，记下颜色再放回盒子中，通过大量重复试验后发现，摸到黑色棋子的频率稳定在25%，请你估计盒子中黑色棋子的个数．

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17. 如图，已知△ABC，请用尺规作图法，在边BC上求作一点D，使得△DAC∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）

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18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，点D为AB的中点，连接CD，过点D作 $D E ∥ B C$ ，且DE=BC，连接BE，求证：四边形BCDE是菱形．

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19. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在网格格点上，且A（2，8），B（4，4），C（8，4）．

(1)、以原点O为位似中心，在第一象限画出△A₁B₁C₁ ，使得△A₁B₁C₁与△ABC位似，且相似比为1：2；

(2)、在（1）的条件下，写出△A₁B₁C₁与△ABC的面积比．

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20. 经研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）之间的关系满足反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ ，已知小明的近视眼镜度数为200度，他的镜片焦距为0.5m．

(1)、求y与x之间的函数关系式；

(2)、已知王力的近视眼镜度数为400度，请你求出王力近视眼镜的镜片焦距．

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21. “双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷．某校计划在某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共5个，其中有2个为八年级班级（分别用A、B表示），3个为九年级班级（分别用C、D、E表示），由于报名参加观摩课堂教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动．

(1)、第一周选择的是八年级班级的概率为；

(2)、请用列表法或画树状图的方法求两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率．

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22. 为了增强学生体质，学校鼓励学生多参加体育锻炼，小伟同学马上行动，每天围绕小区进行晨跑锻炼，该小区外围道路近似为如图所示的四边形ABCD，已知四边形ADCE是边长为150米的正方形（点E在边BC上）， $t a n B = \frac{3}{4}$ ，小伟同学每天沿四边形ABCD晨跑1圈，求小伟同学每天晨跑的总路程．

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23. 北韩麻花产自陕西省武功县北韩村，是陕西省武功县的地方特产，源于明代洪武年间，至今有600多年历史．某批发超市销售一种北韩麻花，进价为每箱30元，当售价为每箱40元时，每天可以销售48箱，为尽快减少库存，超市决定降价销售，经调查发现，如果每箱麻花每降低1元，每天可多售出8箱．如果超市销售北韩麻花每天要想获得504元的利润，每箱售价应降低多少元？

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24. 如图，小明为了方便出行，在家门口安装了两盏路灯，灯泡分别位于A、B两点处，两盏路灯之间有一棵树（用图中CD表示），已知树CD在灯泡A的照射下，其影子末端位于点E处；在灯泡B的照射下，其影子末端位于点F处，D、E、F三点在一条直线上，且CD⊥EF于点D．

(1)、请在图中画出CD在灯泡B照射下的影子DF；（保留画图痕迹，不写画法）

(2)、若AE⊥BF，且DE=9米，DF=4米，请你求出这棵树的高度CD．

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25. 如图，在平面直角坐标系中，A（-1，2），B（-1，-2），以AB为边向右作正方形ABCD，边AD、BC分别与y轴交于点E、F，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过点D．

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、在反比例函数的图象上是否存在点P，使得△PEF的面积等于正方形ABCD面积的一半？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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26.

(1)、【问题探究】
如图①，在矩形ABCD中，点E为边BC上一点，EF⊥AD于点F，点G为边CD上一点，连接AG，过点E作EH⊥AG于点P，交AD于点H，求证：△EFH∽△ADG；

(2)、【问题解决】
如图②，矩形ABCD为某开发区的一片空地，点E、F分别为边CD、BC上的点，经测量，AD=2AB=480米，DE=200米，开发商现欲在AD边上找一点G，使得四边形AGEF的面积为67600平方米，设计人员的设计过程如下：
①以点F为圆心，任意长为半径画弧，交AE于M、N两点；

②分别以点M、N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 长为半径画弧，两弧交于点P；

③连接FP并延长，分别交AE、AD于点H、G．

请问：若按上述作法，得到的点G是否符合要求？请证明你的结论．

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