湖南省长沙市雨花区2022-2023学年九年级下学期数学假期开学考试测试卷

试卷更新日期：2023-02-14 类型：开学考试

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一、选择题（共36分）

1. 在下列各数中，有理数是（）

A、-5 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt[3]{- 5}$ D、π

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2. 下列计算正确的是（）

A、5a²-3a²＝2 B、（-2a²）³＝-6a⁶ C、a³÷a＝a² D、（a+b）²＝a²+b²

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3. 下列四个图案中，不是中心对称图案的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 中新社北京1月27日电中国国家卫生健康委员会副主任曾益新27日在北京称，截至1月26日，中国已完成2276.7万剂次新冠疫苗接种．这里数据2276.7万可以用科学记数法表示为（）

A、0.22767×10⁷ B、2.2767×10⁵ C、2.2767×10⁷ D、2.2767×10⁶

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5. 《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响．在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道．原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E．CE＝1寸，AB＝10寸，则可得直径CD的长为（）

A、13寸 B、26寸 C、18寸 D、24寸

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6. 如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB＝BD，AB＝6，∠C＝30°，则△ACD的面积为（）

A、 $9 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、9

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7. 下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（　　）

A、四边形 B、五边形 C、六边形 D、八边形

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9. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 4 ⩽ 0 \\ x + 2 > 0 \end{array}$ 的解集在数轴上用阴影表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 中国总理李克强2020年6月1日考察山东时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．市场、企业、个体工商户活起来，生存下去，再发展起来，国家才能更好！为了响应党中央、国务院的号召，各地有序开放了“地摊经济”、“马路经济”，长沙某地摊摊主将进价为10元的小商品提价100%后再6折销售，该小商品的利润率（）

A、40% B、20% C、60% D、30%

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11. 如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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12. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的两点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N．下列结论：①BE+DF＝EF；②AF平分∠DFE；③AM•AE＝AN•AF；④AB²＝BN•DM．其中正确的结论是（）

A、②③④ B、①④ C、①②③ D、①②③④

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二、填空题（共12分）

13. 分解因式：4a²b-b＝．

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14. 若圆锥的底面直径为6cm，母线长为10cm，则圆锥的侧面积为cm² ．

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15. 一元二次方程x²-2x-k＝0有两个相等的实数根，则k＝．

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16. 如图，已知，在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k＞0）的图象与AC边交于点E，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为．

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三、解答题（共72分）

17. 计算：（ $\frac{1}{2}$ ）^﹣¹﹣2cos30°+ $\frac{\sqrt{27}}{3}$ +（3﹣π）⁰

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18. 先化简，再求值： $\frac{a^{2} + a}{a^{2} - 2 a + 1} \div (\frac{2}{a - 1} - \frac{1}{a})$ ，其中a＝ $\sqrt{2}$ ．

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19. 某校组织代表队参加市“与经典同行”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：分）．A组：75≤x＜80；B组：80≤x＜85；C组：85≤x＜90；D组：90≤x＜95；E组：95≤x＜100，并绘制如下两幅不完整的统计图：请根据图中信息，解答下列问题：

(1)、参加初赛的选手共有名，请补全频数分布直方图；

(2)、扇形统计图中，C组对应的圆心角是多少度？E组人数占参赛选手的百分比是多少？

(3)、学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，E组6名选手直接进入代表队，现要从D组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中两名女生的概率．

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20. 如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F．

(1)、求证：△ABE≌△CBE；

(2)、若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．

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21. 为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．

(1)、求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；

(2)、若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米， $\sqrt{2}$ ≈1.41， $\sqrt{3}$ ≈1.73）．

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22. 某体育用品店准备购进甲，乙品牌乒乓球两种，若购进甲种乒乓球10个，乙种乒乓球5个，需要100元，若购进甲种乒乓球5个，乙种乒乓球3个，需要55元．

(1)、求购进甲，乙两种乒乓球每个各需多少元？

(2)、若该体育用品店刚好用了1000元购进这两种乒乓球，考虑顾客需求，要求购进甲种乒乓球的数量不少于乙种乒乓球数量的6倍，且乙种乒乓球数量不少于23个，那么该文具店共有哪几种进货方案？

(3)、若该体育用品店销售每只甲种乒乓球可获利润3元，销售每只乙种乒乓球可获利润4元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？

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23. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．

(1)、求证：DO∥AC；

(2)、求证：DE•DA＝DC²；

(3)、若tan∠CAD＝ $\frac{1}{2}$ ，求sin∠CDA的值．

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24. 定义：在平面直角坐标系中，点P（x，y）的横、纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记[P]＝|x|+|y|．

(1)、已知M（p，2p）在反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ 的图象上，且[M]＝3，求反比例函数的解析式；

(2)、已知点A是直线y＝x+2上的点，且[A]＝4，求点A的坐标；

(3)、若抛物线y＝ax²+bx+1与直线y＝x只有一个交点C，已知点C在第一象限，且2≤[C]≤4，令t＝2b²-4a+2020，求t的取值范围．

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25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a＜0）与x轴交于A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．

(1)、试求抛物线的解析式；

(2)、直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝ $\frac{P M}{D M}$ ，试求m的最大值及此时点P的坐标：

(3)、连接AC，抛物线上是否存在点Q，使得∠BAQ＝2∠OCA？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

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