浙江省宁波市鄞州区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-02-14 类型：期末考试

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一、单选题

1. 计算 $\sqrt{8} + | - 2 | \times c o s 45 °$ 的结果，正确的是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2} + \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2} + 2$

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2. 如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（）

A、1：2 B、1：4 C、1：3 D、1：9

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3. 如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（）

A、27° B、29° C、35° D、37°

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4. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 如图， $A C$ 为矩形 $A B C D$ 的对角线，已知 $A D = 3$ ， $C D = 4$ .点P沿折线 $C - A - D$ 以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作 $P E ⊥ B C$ 于点E，则 $△ C P E$ 的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，有下列5个结论：① $a b c > 0$ ；② $2 a - b = 0$ ；③ $9 a + 3 b + c > 0$ ；④ $b^{2} > 4 a c$ ；⑤ $a + c < b$ .其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 已知a，b是非零实数，且 $| a | > | b |$ ，在同一个坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 与一次函数 $y = a x + b$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 在平面直角坐标系中，已知点 $(1 ， m) ， (3 ， n)$ 在抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 上，且 $m n < 0$ .设 $t = - \frac{b}{2 a}$ ，则t的值可以是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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9. 某校举办校庆晚会，其主舞台为一圆形舞台，圆心为O.A，B是舞台边缘上两个固定位置，由线段AB及优弧 $\overset{⌢}{A B}$ 围成的区域是表演区.若在A处安装一台某种型号的灯光装置，其照亮区域如图1中阴影所示.若在B处再安装一台同种型号的灯光装置，恰好可以照亮整个表演区，如图2中阴影所示
若将灯光装置改放在如图3所示的点M，N或P处，能使表演区完全照亮的方案可能是（）
①在M处放置2台该型号的灯光装置②在M，N处各放置1台该型号的灯光装置③在P处放置2台该型号的灯光装置

A、① B、①② C、②③ D、①②③

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $G$ 是边 $B C$ 的三等分点 $(B G < G C)$ ，点 $H$ 是边 $C D$ 的中点，线段 $A G$ ， $A H$ 与对角线 $B D$ 分别交于点 $E$ ， $F$ .设矩形 $A B C D$ 的面积为 $S$ ，则以下4个结论中：① $F H ： A F = 1 ： 2$ ；② $B E ： E F ： F D = 3 ： 5 ： 4$ ；③ $S_{1} + S_{2} + S_{3} = \frac{1}{3} S$ ；④ $S_{6} = S_{2} + S_{5}$ .正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 如图是小明同学的健康码示意图，用黑白打印机打印在边长为2cm的正方形区域内，图中黑色部分的总面积为2cm² ，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为.

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12. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $B C = 2$ ，点O为斜边AB上一点，以O为圆心，OB长为半径作圆，交AC于点C，若点D是AC的中点，连接BD，则图中阴影部分的面积为.

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13. 如图，要使 $△ P Q R ∽ △ P N M$ ，则需添加一个适当的条件是（添一个即可）．

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14. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ D = 32 °$ ，则 $∠ B O C$ 等于.

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15. 如图，函数 $y = {\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x (x > 0) \\ - x (x < 0) \end{array}$ 的图象，若直线 $y = x + m$ 与该图象只有一个交点，则 $m$ 的取值范围为 .

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16. 如图，矩形 $A B C D$ 中，点 $B$ ， $C$ 在 $x$ 轴上， $A D$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，点 $F$ 在 $A B$ 上， $\frac{A F}{B F} = \frac{1}{2}$ ，连接 $C F$ 交 $y$ 轴于点 $G$ ，过点 $F$ 作 $F P ∥ x$ 轴交 $C D$ 于点 $P$ ，点 $P$ 在函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0 ， x < 0)$ 的图象上.若 $△ B C G$ 的面积为 $2$ ，则 $k$ 的值为； $△ D E G$ 的面积与 $△ B O G$ 的面积差为 .

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 ${(\frac{1}{3})}^{- 1} - 4 s i n 60 ° - | \sqrt{3} - 1 | + \sqrt{48}$ ；

(2)、 ${(\frac{1}{2})}^{0} + | - \sqrt{8} | \times t a n 60 ° - 6 \sqrt{\frac{1}{6}}$ .

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18. 第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京成功举办，北京成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的“双奥之城”.北京冬奥会的项目有滑雪（如高山滑雪、单板滑雪等），滑冰（如速度滑冰、花样滑冰等），冰球，冰壶等.如图，有4张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪4种不同的图案，背面完全相同，其中速度滑冰、花样滑冰为冰上项目，高山滑雪、单板滑雪为雪上项目.现将这4张卡片洗匀后正面向下放在桌子上.

(1)、从中随机抽取1张，求抽出的卡片上恰好是冰上项目图案的概率；

(2)、若印有速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪4种不同图案的卡片分别用A，B，C，D表示，从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，试用画树状图或列表的方法求出抽到的卡片均是冰上项目图案的概率.

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19. 图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条， $A B = A C = 50 c m$ ， $∠ A B C = 47 °$ ．

(1)、求车位锁的底盒长 $B C$ ；

(2)、若一辆汽车的底盘高度为 $35 c m$ ，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？通过计算说明理由．（参考数据： $s i n 47 ° \approx 0.73$ ， $c o s 47 ° \approx 0.68$ ， $t a n 47 ° \approx 1.07$ ）

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20. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为 $(3 ， 0)$ ，点C的坐标为 $(0 ， 3)$ .

(1)、求b与c的值；

(2)、求函数的最大值；

(3)、 $M (m ， n)$ 是抛物线上的任意一点，当 $n \geq \frac{7}{4}$ 时，利用函数图象写出 $m$ 的取值范围.

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21. 如图，⊙ $O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，点 $D$ 在 $B C$ 延长线上，且满足 $∠ C A D = ∠ B$ .

(1)、求证： $A D$ 是⊙ $O$ 的切线；

(2)、若 $A C$ 是 $∠ B A D$ 的平分线， $s i n B = \frac{3}{5}$ ， $B C = 4$ ，求⊙ $O$ 的半径.

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22. 某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60（元/件）.在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：
销售价格x（元/件）
80
90
100
110
日销售量y（件）
240
220
200
180

(1)、若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式（不用写自变量x的取值范围）；

(2)、若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？

(3)、为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？（利润用w表示）

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23. 定义：若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“师梅四边形”，这条对角线称为“师梅线”.我们熟知的平行四边形就是“师梅四边形”.

(1)、如图1， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $B D = 4 \sqrt{2}$ ， $B C = 10$ .四边形 $A B C D$ 是被 $B D$ 分割成的“师梅四边形”，求 $A B$ 长；

(2)、如图2，平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的点，且 $O A = 3$ ， $O B = 2$ ，若点C是直线 $y = x$ 在第一象限上的一点，且 $O C$ 是四边形 $O A C B$ 的“师梅线”，求四边形 $O A C B$ 的面积.

(3)、如图3，圆内接四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 6 0^{°}$ 点E是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，连接 $B E$ 交 $C D$ 于点F，连接 $A F$ ， $∠ D A F = 3 0^{°}$ ， ①求证：四边形 $A B C F$ 是“师梅四边形”；②若 $△ A B C$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，求线段 $B F$ 的长.

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24. 综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究.
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接 $A D ， A B ， B C ， C D$ ，如果 $∠ B = ∠ D$ ，那么A，B，C，D四点在同一个圆上.
探究展示：求证：点A，B，C，D四点在同一个圆上
如图2，作经过点A，C，D的 $⊙ O$ ，在劣弧 $A C$ 上取一点E（不与A，C重合），连接 $A E$ ， $C E$ ，则 $∠ A E C + ∠ D = 180 °$ .

(1)、请完善探究展示

(2)、如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ 1 = ∠ 2 ， ∠ 3 = 45 °$ ，则∠4的度数为.

(3)、拓展探究：如图4，已知 $△ A B C$ 是等腰三角形， $A B = A C$ ，点D在 $B C$ 上（不与 $B C$ 的中点重合），连接 $A D$ .作点C关于 $A D$ 的对称点E，连接 $E B$ 并延长交 $A D$ 的延长线于F，连接 $A E ， D E$ .
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若 $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $A D \cdot A F$ 的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由

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销售价格x（元/件）	80	90	100	110
日销售量y（件）	240	220	200	180