内蒙古自治区呼和浩特市2023届高三上学期理数质量普查调研考试试卷

试卷更新日期：2023-02-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 2^{x} > 4}$ ， $B ＝ {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${2}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${2 ， 3 ， 4}$ D、 ${3 ， 4}$

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2. 若 $i (1 - z) = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、复数z的模为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\bar{z} = 1 - i$ C、复数z的虚部为－i D、复数z在复平面内对应的点在第二象限

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3. 已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（－5，m），且 $s i n α = - \frac{12}{13}$ ，则 $\frac{1 - c o s 2 α}{s i n 2 α} =$ （）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $- \frac{5}{12}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $- \frac{12}{5}$

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4. 已知 $| \vec{a} | = \sqrt{2}$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 1$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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5. 设 $a = 3^{- \frac{1}{2}}$ ， $b = {(\frac{1}{2})}^{- \frac{1}{3}}$ ， $c = l o g_{2} \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $a < b < c$

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6. 数列 ${a_{n}}$ 中，如果 $a_{n} = 47 - 2 n$ ，则Sn取最大值时，n等于（）

A、23 B、24 C、25 D、26

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $A$ 是其渐近线上的一点，若 $| A F |$ 的最小值为 $3 a$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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8. 小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距20米的C，D两观测点，且C，D与教学楼底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为 $4 5^{∘}$ ， $3 0^{∘}$ ，并测得 $∠ B C D = 12 0^{°}$ ，则教学楼AB的高度是（）

A、20米 B、 $20 \sqrt{2}$ 米 C、 $15 \sqrt{3}$ 米 D、25米

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9. 已知函数 $y = [x]$ 称为高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作 $[x]$ ，如图，则输出的S值为（）

A、42 B、43 C、44 D、45

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10. 曲线 $y = s i n x + 2 c o s x$ 在点 $(π ， - 2)$ 处的切线方程为（）

A、 $x - y - π - 2 = 0$ B、 $2 x - y - 2 π - 2 = 0$ C、 $2 x + y - 2 π + 2 = 0$ D、 $x + y - π + 2 = 0$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} - m x - 3 m$ ，则“ $m > 2$ ”是“ $f (x) < 0$ 对 $x \in [1 ， 3]$ 恒成立”的（　　）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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12. 定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{3}{4} ， 0)$ 成中心对称，对任意的实数x都有 $f (x) = - f (x + \frac{3}{2})$ ，且 $f (- 1) = 1$ ， $f (0) = - 2$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + ⋯ + f (2021)$ 的值为（）

A、2 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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二、填空题

13. 若实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y + 1 \geq 0 \\ x \leq 1 \end{array}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最大值是．

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14. 已知圆C与圆 $x^{2} + y^{2} + 10 x + 10 y = 0$ 相切于原点，且过点 $A (0 ， - 4)$ ，则圆 $C$ 的标准方程为.

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15. 函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ)$ $(ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列关于 $f (x)$ 的结论正确的序号为.
① $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ；
② $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称；
③若 $x_{1} ， x_{2} \in (- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ 且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $f (x_{1} + x_{2}) = \sqrt{3}$ ；
④ $f (x)$ 的图象向左平移θ（θ＞0）个单位得到 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 图象的一个对称中心是 $(\frac{π}{6} ， 0)$ ，则θ的最小值为 $\frac{π}{6}$ .

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16. 已知P是半径为1圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的一段圆弧AB上的一点，若 $\vec{A C} = 2 \vec{C B}$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D ， ∠ B C D = 135 ° ， B D = \sqrt{5} C D = \sqrt{10}$ ．

(1)、求 $\sin ∠ C B D$ 的值；

(2)、若 $△ A B D$ 的面积为4，求 $A D$ 的长．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + ⋯ n a_{n} = (n - 1) \cdot 2^{n + 1} + 2 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{(a_{n} + 1) (a_{n + 1} + 1)}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项之和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < \frac{1}{3}$ ．

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19. 用水清洗果蔬上残留的农药.对用一定量的水清洗一次的效果做如下假定：用1个单位量的水可以洗掉果蔬上残留农药的一半，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在果蔬上.设用 $x$ 单位量的水清洗一次以后，果蔬上残留的农药量与本次清洗前残留的农药的农药量的比值为函数 $φ (x)$ .

(1)、试规定 $φ (0)$ 的值，并解释其实际意义.

(2)、试根据假定写出函数 $φ (x)$ 应该满足的条件或性质（三条）.

(3)、设 $φ (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ ，现有 $m (m > 0)$ 单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问：用那种方案清洗后果蔬上残留的农药比较少？说明理由.

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20. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - 2 a x + a$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求实数a的取值范围.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，椭圆的右焦点F与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点重合.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、A、B是椭圆的左、右顶点，过点F且斜率不为0的直线交椭圆C于点M、N，直线AM与直线x＝4交于点P.记PA、PF、BN的斜率分别为k₁、k₂、k₃ ， $\frac{k_{1} + k_{3}}{2 k_{2}}$ 是否为定值？并说明理由.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \sqrt{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系 $x O y$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴）中，圆 $C$ 的方程为 $ρ = 2 \sqrt{5} s i n θ$ .

(1)、求圆 $C$ 的参数方程；

(2)、设圆 $C$ 与直线 $l$ 交于点 $A ， B$ ，求弦长 $| A B |$ .

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23. 已知m≥0，函数 $f (x) = 2 | x - 1 | - | 2 x + m |$ 的最大值为4，

(1)、求实数m的值；

(2)、若实数a，b，c满足 $a - 2 b + c = m$ ，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的最小值.

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