辽宁省2022-2023学年高三上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2023-02-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = (1 + i) (2 - i)$ （ $i$ 是虚数单位），则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = {y | y = c o s x ， x \in [0 ， π]} ， B = {x | x^{2} < x}$ ，则 $A \cap B$ 等于（）

A、 $[- 1 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $[0 ， 1]$ D、 $(- 1 ， 0)$

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3. 已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，侧面均为腰长为4的等腰梯形，则该四棱台的表面积为（）

A、 $10 + 6 \sqrt{15}$ B、34 C、 $20 + 12 \sqrt{15}$ D、68

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4. 若 $\frac{3 s i n α + 2 c o s α}{2 s i n α - c o s α} = \frac{8}{3}$ ，则 $t a n (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $3$ B、 $- 3$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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5. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 12 x$ 的焦点为F，准线为l，点P为C上一点，过P作l的垂线，垂足为A，若AF的倾斜角为150°，则 $| P F | =$ （）

A、6 B、5 C、4 D、3

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6. 已知小郭、小张和小陆三名同学同时独立地解答一道概率试题，每人均有 $\frac{2}{3}$ 的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，小陆同学解答不正确的概率是（）

A、 $\frac{13}{20}$ B、 $\frac{9}{20}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{20}$

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7. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中 $0 < a_{1} < a_{8} = 1$ ．则能使不等式 $(a_{1} - \frac{1}{a_{1}}) + (a_{2} - \frac{1}{a_{2}}) + ⋯ + (a_{n} - \frac{1}{a_{n}}) \leq 0$ 成立的正整数 $n$ 的最大值为（）

A、13 B、14 C、15 D、16

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} ， 0 \leq x < 1 \\ 2 x - 2 ， x \geq 1 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - a$ 在区间 $[0 ， + ∞)$ 上有两个零点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则 $(x_{2} - x_{1}) f (x_{1})$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{e}{2} ， e)$ B、 $[\frac{3}{2} ， e)$ C、 $[\frac{e}{2} ， \frac{e^{2}}{2})$ D、 $[\frac{3}{2} ， \frac{e^{2}}{2})$

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二、多选题

9. 已知 $l n (- a) > l n b$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $a b + b^{2} < 0$ C、 $a^{2} < b^{2}$ D、 $2^{a} < {(\frac{1}{2})}^{b}$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} s i n x + \sqrt{3} c o s^{2} \frac{x}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位长度后得到函数 $y = - c o s x$ 的图象 B、 $f (x)$ 的图象与 $g (x) = s i n (x + \frac{2 π}{3})$ 的图象关于y轴对称 C、 $f (x)$ 的单调递减区间为 $[2 k π + \frac{π}{6} ， 2 k π + \frac{7 π}{6}] (k \in Z)$ D、 $f (x)$ 在 $[0 ， a]$ 上有3个零点，则实数a的取值范围是 $[\frac{8 π}{3} ， \frac{11 π}{3}]$

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11. 已知点 $M$ 在直线 $l ： y - 4 = k (x - 3)$ 上，点 $N$ 在圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 9$ 上，则下列说法正确的是（）

A、点 $N$ 到 $l$ 的最大距离为 $8$ B、若 $l$ 被圆 $O$ 所截得的弦长最大，则 $k = \frac{4}{3}$ C、若 $l$ 为圆 $O$ 的切线，则 $k$ 的取值范围为 ${0 ， \frac{7}{24}}$ D、若点 $M$ 也在圆 $O$ 上，则 $O$ 到 $l$ 的距离的最大值为 $3$

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12. 将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为 $a_{i} (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， 7)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a_{4} = 7 ， a_{1} + a_{2} + a_{3} < a_{5} + a_{6} + a_{7}$ ，则这样的数列共有360个 B、若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有288个 C、若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有50个 D、若 $a_{1} < a_{2} < a_{3} ， a_{3} > a_{4} > a_{5} ， a_{5} < a_{6} < a_{7}$ ，则这样的数列共有71个

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (k - 3 ， 3) ， \vec{b} = (k + 2 ， 2) (k \in R)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ ．

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14. 若 $x l o g_{2} 3 = 2$ ，则 ${(\frac{1}{3})}^{x} =$ ．

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15. 已知点 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于A，B两点，且满足 $A F_{1} ⊥ A B ， \frac{| A F_{1} |}{| A B |} = \frac{4}{3}$ ，则该椭圆的离心率是．

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16. 如图，在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，点 $P$ 是侧面 $C D D_{1} C_{1}$ 上的动点．且 $M P / /$ 平面 $A B_{1} C$ ，则线段 $M P$ 长度的取值范围是．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a - \frac{1}{2} c = b c o s C$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、如图，若D是 $△ A B C$ 外接圆的劣弧AC上一点，且 $a = 6 ， c = 8 ， C D = 6$ ．求AD．

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18. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{n} > 0 ， a_{2} + a_{3} = 12 ， a_{4} + a_{5} = 48$

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {(- 1)}^{n - 1} l o g_{2} a_{n}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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19. 某地区2015年至2021年居民家庭人均存款y（单位：万元）数据如下表：
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年份代号x
1
2
3
4
5
6
7
人均存款y
1.4
1.8
2.1
2.9
3.3
3.7
4.4
变量x，y具有线性相关关系．
参考公式：回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、求y关于x的线性回归方程，并预测2022年该地区居民家庭人均存款；

(2)、若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差为0，则称该数据为“完美数据”现从这些数据中随机抽取2个，设X为抽到的“完美数据”的个数，求X的分布列和数学期望．

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20. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A C ⊥$ 平面PAB， $A C = 2$ ， $A B = 1$ ， $B P = \sqrt{3}$ ， $P A = 2$ .

(1)、求证： $P B ⊥ B C$ ；

(2)、求二面角 $B - P C - A$ 的余弦值.

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21. 如图，已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右顶点分别为A，B， $| A B | = 2 \sqrt{2}$ ，点P是C上异于左、右顶点的任意一点，记直线PA，PB的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、若点M满足 $M A ⊥ P A ， M B ⊥ P B$ ，记 $△ M A B ， △ P A B$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ．试判断 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1 (a \in R)$ ．

(1)、若 $f (x) \geq 0$ 在 $x \in (- \infty ， + \infty)$ 上恒成立，求实数a的值；

(2)、证明：当 $x \in (0 ， 1)$ 时， $\frac{x (1 - l n x)}{e^{x}} < x + 1 - x^{2}$ ．

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年份	2015	2016	2017	2018	2019	2020	2021
年份代号x	1	2	3	4	5	6	7
人均存款y	1.4	1.8	2.1	2.9	3.3	3.7	4.4