贵州省铜仁市2023届高三上学期理数期末质量监测试卷

试卷更新日期：2023-02-13 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $P = {2 x ， x + y} ， Q = {9 ， 6}$ ，且 $P = Q$ ，则整数x，y分别为（）

A、6，3 B、6，3或 $\frac{9}{2} ， \frac{3}{2}$ C、3，6 D、3，6或 $\frac{9}{2} ， \frac{3}{2}$

查看试题解析
2. 若复数 $z = (5 - 12 i) (c o s θ + i s i n θ) (θ \in R)$ （其中i是虚数单位），则 $| \bar{z} | =$ （）

A、5 B、12 C、13 D、17

查看试题解析
3. 在三维空间中，三个非零向量 $\vec{O A} ， \vec{O B} ， \vec{O C}$ 满足 $\vec{O A} ⊥ \vec{O B} ， \vec{O B} ⊥ \vec{O C} ， \vec{O C} ⊥ \vec{O A}$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、直角或锐角三角形

查看试题解析
4. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为（）

A、6 斤 B、9 斤 C、9.5斤 D、12 斤

查看试题解析
5. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $A ， B$ 是抛物线 $C$ 上不同两点，且 $A ， B$ 中点的横坐标为 $3$ ，则 $| A F | + | B F | =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、8

查看试题解析
6. 已知实数x，y满足 $| x + 1 | + | x - 1 | + | y + 2 | + | y - 2 | = 6$ ，则 $2 x + y$ 的取值范围是（）

A、 $[- 3 ， 3]$ B、 $[- 3 ， 4]$ C、 $[- 4 ， 4]$ D、 $[- 6 ， 6]$

查看试题解析
7. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列结论错误的是（）

A、 $A_{1} C ⊥ B_{1} D_{1}$ B、若E是棱 $B C$ 的中点，则 $B D / /$ 平面 $E B_{1} D_{1}$ C、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外接球的表面积为 $3 π$ D、 $△ A C D_{1}$ 的面积是 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

查看试题解析
8. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数且公比大于1，前n项积为 $T_{n}$ ，且 $a_{3} a_{5} = a_{4}$ ，则使得 $T_{n} > 1$ 的n的最小值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

查看试题解析
9. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $C B D$ ， $A B = B C = C D = A D = B D = 6$ ，点M在 $A C$ 上， $A M = 2 M C$ ，过点M作三棱锥 $A - B C D$ 外接球的截面，则截面圆周长的最小值为（）

A、 $12 π$ B、 $10 π$ C、 $8 π$ D、 $4 \sqrt{3} π$

查看试题解析
10. 已知p，q是方程 $(t^{2} - 5 t + 4) (t^{2} - 5 t + 6) = 0$ 的根，则函数 $g (x) = p x^{3} + q x^{2} + x - 1$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上是递增函数的概率是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{7}{12}$ C、 $\frac{7}{16}$ D、 $\frac{9}{16}$

查看试题解析
11. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若 $| A F_{1} | = 2 a$ ，且双曲线的离心率为 $\sqrt{7}$ ，则（）

A、 $| A B | > | A F_{2} |$ B、 $| A B | = | A F_{2} |$ C、 $| A B | < | A F_{2} |$ D、 $2 | A B | = | A F_{2} |$

查看试题解析
12. 设函数 $f^{^{'}} (x)$ 是奇函数 $f (x) (x \in R)$ 的导函数， $f (- 1) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) - f (x) > 0$ ，则使得 $f (x) > 0$ 成立的x的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (- 1 ， 0)$ D、 $(0 ， 1) \cup (1 ， + \infty)$

查看试题解析

二、填空题

13. 一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为42的样本，那么应抽取女运动员人数是．

查看试题解析
14. 过点 $P (1 ， 1)$ 的直线l将圆 $M ： (x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ 分成两段弧，当劣弧所对圆心角最小时，直线l的斜率 $k =$ ．

查看试题解析
15. 已知函数 $y = c o s x (0 \leq x \leq 2 π)$ 的图像与直线 $y = 1$ 所围区域的面积是 $ω$ ，则函数 $y = c o s ω x - s i n ω x$ 的一个单调递减区间是．

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x - [x]$ （符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数），若方程 $f (x) = l o g_{a} | x | (a > 0 ， a \neq 1)$ 有6个不同的实数解，则 $a$ 的取值范围是．

查看试题解析

三、解答题

17. 设 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边为a，b，c， $△ A B C$ 的面积为S．且有关系式： $c o s 2 A + c o s 2 B = 2 c o s^{2} C + 2 s i n A s i n B$ ．

(1)、求C；

(2)、求证： $c^{2} \geq 4 \sqrt{3} S$ ．

查看试题解析
18. 如图，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = 9 0^{∘}$ ， $∠ B A C = 3 0^{∘}$ ， $A_{1} A = A_{1} C = A C = 4$ ， E，F分别是 $A C ， A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $E F ⊥ B C$ ；

(2)、求二面角 $C_{1} - A_{1} C - B$ 的正弦值．

查看试题解析

19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.

A

市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了

100

人，并将这

100

人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过

3000

元）：

消费金额（单位：百元）	$[0 ， 5]$	$(5 ， 10]$	$(10 ， 15]$	$(15 ， 20]$	$(20 ， 25]$	$(25 ， 30]$
频数	$20$	$35$	$25$	$10$	$5$	$5$

参考数据：若随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < ξ ⩽ μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < ξ ⩽ μ + 3 σ) = 0.9973$ .

(1)、由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额

Z

（单位：元）近似地服从正态分布

N (μ ， σ^{2})

，其中

μ

近似为样本平均数

x

（每组数据取区间的中点值，

σ = 660

）.现从该市任取

20

名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在

390

元至

2370

元之间的人数为

X

，求

X

的数学期望；

(2)、

A

市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值

100

元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第

0

格、第

1

格、第

2

格、…、第

60

格共

61

个方格.棋子开始在第

0

格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是

\frac{1}{2}

，其中

P_{0} = 1

），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从

k

到

k + 1

），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从

k

到

k + 2

）.重复多次，若这枚棋子最终停在第

59

格，则认为“闯关成功”，并赠送

500

元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第

60

格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.

①设棋子移到第

n

格的概率为

P_{n}

，求证：当

1 \leq n \leq 59

时，

{P_{n} - P_{n - 1}}

是等比数列；
②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.

查看试题解析

20. 已知点 $F (0 ， 1)$ ，直线l：y=4，P为曲线C上的任意一点，且 $| P F |$ 是P到l的距离的 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求曲线C的方程；

(2)、若经过点F且斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线交曲线C于点M､N，线段MN的垂直平分线交y轴于点H，求证： $\frac{| F H |}{| M N |}$ 为定值.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = x - a l n x (a \in R)$ ．

(1)、讨论函数的单调性及极值，并判断方程 $e^{- x} - 2 x - l n x = 0$ 的实根个数；

(2)、证明： $e^{x} + 4 x^{4} l n x \geq x^{5} + x^{4}$ ．

查看试题解析
22. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为 $ρ \sqrt{2} c o s (θ + \frac{π}{4}) + ρ c o s θ = 3$ ，曲线C的参数方程是 ${\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} (t + \frac{1}{t}) ， \\ y = \frac{1}{2} (t - \frac{1}{t}) \end{array}$ （t是参数）．

(1)、求直线l及曲线C的直角坐标方程；

(2)、求直线l被曲线C截得弦 $A B$ 的长．

查看试题解析
23. 设不等式 $| 2 x + 1 | + | 2 x - 1 | < 4$ 的解集为 $M ， a ， b \in M$ ．

(1)、求证： $| \frac{1}{2} a - \frac{1}{3} b | < \frac{5}{6}$ ；

(2)、试比较 $| 2 a - b |$ 与 $| 2 - a b |$ 的大小，并说明理由．

查看试题解析