广西壮族自治区玉林市2022-2023学年高二上学期数学1月期末教学质量监测试卷

试卷更新日期：2023-02-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，点 $M (1 ， 2 ， 3)$ 关于 $x$ 轴对称的点 $N$ 的坐标是（）

A、 $N (- 1 ， 2 ， 3)$ B、 $N (1 ， - 2 ， 3)$ C、 $N (1 ， - 2 ， - 3)$ D、 $N (1 ， 2 ， - 3)$

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2. 直线 $y = \sqrt{3} x + 2$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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3. 已知圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 4 = 0$ ，则圆心 $C$ 的坐标为（）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(1 ， - 2)$ C、 $(- 2 ， 4)$ D、 $(2 ， - 4)$

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4. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 1$ ， $a_{4} = 3$ ，则 $a_{6}$ 等于（）

A、 $- 5$ B、5 C、 $- 9$ D、9

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5. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $M (4 ， m) (m > 0)$ 到其焦点的距离为5，则实数 $m$ 的值是（）

A、 $- 4$ B、2 C、4 D、8

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6. 如图，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ .点 $M$ 在 $O A$ 上，且 $O M = 2 M A$ ， $N$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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7. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} = n + \frac{6}{n}$ ，则 $| a_{1} - a_{2} | + | a_{2} - a_{3} | + ⋯ + | a_{8} - a_{9} |$ 的值为（）

A、 $\frac{20}{3}$ B、7 C、 $\frac{22}{3}$ D、8

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8. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ 与 $F_{2} ， A$ 是双曲线 $C$ 的左顶点，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $P ， Q$ 两点，且 $∠ P A Q = \frac{3 π}{4}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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二、多选题

9. 已知圆C：(x－1)²＋(y－2)²＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下几个命题正确的有（）

A、直线l恒过定点(3，1) B、直线l与圆C相切 C、直线l与圆C恒相交 D、直线l与圆C相离

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10. 关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、已知任意非零向量 $\vec{a} = (x_{1} ， y_{1} ， z_{1}) ， \vec{b} = (x_{2} ， y_{2} ， z_{2})$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{1}}{y_{2}} = \frac{z_{1}}{z_{2}}$ B、若对空间中任意一点 $O$ ，有 $\vec{O P} = \frac{1}{6} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ ，则 $P ， A ， B ， C$ 四点共面 C、设 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 是空间中的一组基底，则 ${\vec{a} + \vec{b} ， \vec{b} ， \vec{a} - \vec{b}}$ 也是空间的一组基底 D、若空间四个点 $P ， A ， B ， C ， \vec{P C} = \frac{1}{4} \vec{P A} + \frac{3}{4} \vec{P B}$ ，则 $A ， B ， C$ 三点共线

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 2$ ， $a_{n} = 2 - \frac{1}{a_{n - 1}}$ ， $n = 2$ ， 3，4，…，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{5} = \frac{6}{5}$ B、对任意 $n \in N *$ ， $a_{n + 1} < a_{n}$ 恒成立 C、不存在正整数 $p$ ， $q$ ， $r$ 使 $a_{p}$ ， $a_{r}$ ， $a_{q}$ 成等差数列 D、数列 ${\frac{1}{a_{n} - 1}}$ 为等差数列

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12. 抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到 $(2 ， t)$ 时， $| P F | = 4$ ，直线 $l$ 与抛物线相交于A，B两点，点 $M (4 ， 1)$ ，下列结论正确的是（）

A、抛物线的方程为 $y^{2} = 8 x$ B、存在直线 $l$ ，使得A、B两点关于 $x + y - 6 = 0$ 对称 C、 $| P M | + | P F |$ 的最小值为6 D、当直线 $l$ 过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切

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三、填空题

13. 已知直线 $l_{1} ： a x - 3 y + 2 = 0$ 与 $l_{2} ： 2 x + (a - 3) y + 1 = 0$ 垂直，则 $a =$ .

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14. 在各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $S_{10} = 10$ ， $S_{20} = 30$ ，则 $S_{30} =$ .

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15. 如图所示，二面角 $α - l - β$ 为 $6 0^{∘}$ ， $A ， B$ 是棱 $l$ 上的两点， $A C ， B D$ 分别在半平面内 $α ， β$ ，且 $A C ⊥ l$ ， $B D ⊥ l$ ， $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， $B D = 8$ ，则 $C D$ 的长．

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16. 已知线段 $M N$ 是圆 $C ： (x - 1)^{2} + y^{2} = 8$ 的一条动弦，且 $| M N | = 2 \sqrt{3}$ ，若点 $P$ 为直线 $2 x + y + 8 = 0$ 上的任意一点，则 $| \vec{P M} + \bar{P N} |$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中， $A (1 ， 1)$ ， $B (3 ， - 2)$ ， $C (2 ， 0)$ .

(1)、求 $△ A B C$ 的中线 $A D$ 所在直线的方程；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 如图，在棱长为2的正方体中， $E ， F$ 分别为 $D D_{1}$ ， $B D$ 的中点，点 $G$ 在 $C D$ 上，且 $C G = \frac{1}{4} C D$ ．

(1)、求证： $E F ⊥ B_{1} C$ ；

(2)、求EF与CG所成角的余弦值．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和Sn＝n²＋2n．

(1)、求{an}通项公式；

(2)、设bn＝ $\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ， ${b_{n}}$ 的前n项和为Tn，求Tn

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20. 已知曲线C是到两个定点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ 的距离之比等于常数 $\sqrt{5}$ 的点组成的集合．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、设过点B的直线l与C交于M，N两点；问在x轴上是否存在定点 $Q (t ， 0)$ ，使得 $\vec{Q M} \cdot \vec{Q N}$ 为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

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21. 如图，在四边形 $P D C B$ 中， $P D / / B C ， B A ⊥ P D$ 于交 $P D$ 点 $A ， P A = A B =$ $B C = 2$ ， $A D = 1$ .沿 $B A$ 将 $△ P A B$ 翻折到 $△ S A B$ 的位置，使得二面角 $S - A B - P$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ .

(1)、证明：平面 $S B A ⊥$ 平面 $S A D$ ；

(2)、在线段 $S C$ 上（不含端点）是否存在点 $Q$ ，使得二面角 $Q - B D - C$ 的余弦值为 $\frac{4 \sqrt{31}}{31}$ ，若存在，确定点 $Q$ 的位置，若不存在，请说明理由.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $△ H M N$ 的周长是18， $M$ ， $N$ 是 $x$ 轴上关于原点对称的两点，若 $| M N | = 6$ ，动点 $G$ 满足 $\vec{G M} + \vec{G N} + \vec{G H} = \vec{0}$ .

(1)、求动点 $G$ 的轨迹方程 $C$ ；

(2)、设动直线 $l$ 过定点 $P (4 ， 3)$ 与曲线 $C$ 交于不同两点A， $B$ （点 $B$ 在 $x$ 轴上方），在线段 $A B$ 上取点 $Q$ 使得 $\frac{| P B |}{| P A |} = \frac{| Q B |}{| Q A |}$ ，证明：当直线运动过程中，点 $Q$ 在某定直线上.

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