广西钦州市2022-2023学年高一上学期数学期末教学质量监测试卷

试卷更新日期：2023-02-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 一个笼子里有 $3$ 只白兔， $2$ 只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同，则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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2. 已知集合 $A = {x | 0 < \log_{4} x < 2}$ ， $B = {x | e^{x - 3} \leq 1}$ ，则 $A \cap (C_{R} B) =$ （）

A、 $(3 ， 16)$ B、 $(3 ， 8)$ C、 $(1 ， 3]$ D、 $(1 ， + \infty)$

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3. 当一个非空数集 $G$ 满足：如果 $a$ ， $b \in G$ ，则 $a + b$ ， $a - b$ ， $a b \in G$ ，且 $b \neq 0$ 时， $\frac{a}{b} \in G$ 时，我们称 $G$ 就是一个数域.以下关于数域的说法： $① 0$ 是任何数域的元素 $； ②$ 若数域 $G$ 有非零元素，则 $2019 \in G ； ③$ 集合 $P = {x | x = 2 k ， k \in Z}$ 是一个数域． $④$ 有理数集是一个数域.其中正确的选项是（）

A、 $① ② ④$ B、 $② ③ ④$ C、 $① ④$ D、 $① ②$

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4. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号 $.$ 设 $x ∈ R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如： $[- 0.5] = - 1$ ， $[1.5] = 1 .$ 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 4 (1 \leq x \leq 4)$ ，则函数 $y = [f (x)]$ 的值域为（）

A、 $[\frac{1}{2} ， \frac{3}{2})$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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5. 定义集合运算： $A \cdot B = {z | z = x^{2} (y - 1) ， x \in A ， y \in B}$ .设 $A = {- 1 ， 1}$ ， $B = {0 ， 2}$ ，则集合 $A \cdot B$ 中的所有元素之和为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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6. 若直角坐标平面内的两点 $P$ 、 $Q$ 满足条件：① $P$ 、 $Q$ 都在函数 $y = f (x)$ 的图象上；② $P$ 、 $Q$ 关于原点对称，则称点对 $[P 、 Q]$ 是函数 $y = f (x)$ 的一对“友好点对”（点对 $[P 、 Q]$ 与 $[Q 、 P]$ 看作同一对“友好点对”）．已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} (x \leq 0) \\ x^{2} - 2 x (x > 0) \end{array}$ ，则此函数的“友好点对”有（）

A、4对 B、3对 C、2对 D、1对

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7. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x \in Q \\ 0 ， x \in C_{R} Q \end{array}$ 被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，以下命题正确的个数是
下面给出关于狄利克雷函数f(x)的五个结论：
①对于任意的x∈R，都有f(f(x))=1；
②函数f(x)偶函数；
③函数f(x)的值域是{0，1}；
④若T≠0且T为有理数，则f(x+T)=f(x)对任意的x∈R恒成立；
⑤在f(x)图象上存在不同的三个点A，B，C，使得△ABC为等边角形.

A、2 B、3 C、4 D、5

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8. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{3} x ， x > 0 \\ x^{2} + 2 x - 2 ， x \leq 0 \end{array}$ ，若 $f (a) = 1$ ，则 $a =$

A、3 B、 $\pm 3$ C、 $- 3$ 或1 D、 $\pm 3$ 或1

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9. 某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为( )

A、30 B、25 C、20 D、15

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10. 已知 $a = \ln 2$ ， $b = 2^{0.8}$ ， $c = \ln \frac{2}{3}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $a < b < c$

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11. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 1}}{2 x^{2} - x - 1}$ 的定义域是（）

A、 ${x | x \neq - \frac{1}{2}}$ B、 ${x | x > - \frac{1}{2}}$ C、 ${x | x \neq - \frac{1}{2}$ 且 $x \neq 1}$ D、 ${x | x > - \frac{1}{2}$ 且 $x \neq 1}$

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12. 设集合 $M = {3 ， l o g_{3} a} ， N = {a ， b}$ ，若 $M ∩ N = {0}$ ，则 $M \cup N =$

A、 ${3 ， 0}$ B、 ${3 ， 0 ， 1}$ C、 ${3 ， 0 ， 2}$ D、 ${3 ， 0 ， 1 ， 2}$

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二、填空题

13. 某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这些产品中随机抽取一件产品测试，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为.

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14. 某电视台综艺频道组织的闯关游戏，游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关．现有一位参加游戏者单独闯第一、第二关成功的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ，则该参加者有资格闯第三关的概率为．

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15. 若点 $P (4 ， 2)$ 在函数 $f (x) = l o g_{a} x$ 的图像上，点 $Q (m ， \frac{1}{4})$ 在 $f (x)$ 的反函数图象上，则 $m =$ ．

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16. 光线通过一块玻璃，强度损失10%，那么至少遇过块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来 $\frac{1}{5}$ 以下. $(l g 3 \approx 0.477 ， l g 2 \approx 0.3)$

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三、解答题

17. 如图，已知 $△ A B C$ ， $A B = A C = 5 ， B C = 8$ ，点P从B点沿直线BC运动到C点，过P作BC的垂线l，记直线l左侧部分的多边形为Ω，设 $B P = x$ ， Ω的面积为 $S (x)$ ， Ω的周长为 $L (x)$ ．

(1)、求 $S (x)$ 和 $L (x)$ 的解析式；

(2)、记 $F (x) = \frac{S (x)}{L (x)}$ ，求 $F (x)$ 的最大值．

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18. 已知定义在R上的函数 $f (x) = \frac{- 2^{x} + a}{2^{x + 1} + 2}$ 是奇函数.

(1)、求实数a的值；

(2)、解方程 $f (x) = - \frac{7}{18}$ ；

(3)、若对任意的 $x ∈ R$ ，不等式 $f (4^{x} - 2^{x + 1} + 3) + f (2^{2 x + 1} - k 2^{x}) < 0$ 恒成立，求实数k的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (2 x - 3) + 1 (a > 0 ， a \neq 1)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) < 3$ 的解集；

(2)、当 $a = 10$ 时，设 $g (x) = f (x) - 1$ ，且 $g (3) = m ， g (4) = n$ ，求 $l o g_{6} 45$ （用 $m ， n$ 表示）；

(3)、在（2）的条件下，是否存在正整数 $k$ ，使得不等式 $2 g (x + 1) > l g (k x^{2})$ 在区间 $[3 ， 5]$ 上有解，若存在，求出 $k$ 的最大值，若不存在，请说明理由.

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20. 某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为 $R = 5 x - \frac{1}{2} x^{2} (0 \leq x \leq 5)$ ，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）.

(1)、把利润表示为产量的函数.

(2)、产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）；

(3)、产量为多少时，企业所得利润最大？

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21. 已知函数 $f (x)$ 的图象在定义域 $(0 ， + \infty)$ 上连续不断.若存在常数 $T > 0$ ，使得对于任意的 $x > 0$ ， $f (T x) = f (x) + T$ 恒成立，称函数 $f (x)$ 满足性质 $P (T)$ .

(1)、若 $f (x)$ 满足性质 $P (2)$ ，且 $f (1) = 0$ ，求 $f (4) + f (\frac{1}{4})$ 的值；

(2)、若 $f (x) = l o g_{1.2} x$ ，试说明至少存在两个不等的正数 $T_{1} ， T_{2}$ ，同时使得函数 $f (x)$ 满足性质 $P (T_{1})$ 和 $P (T_{2})$ .（参考数据： $1 . 2^{4} = 2.0736$ ）

(3)、若函数 $f (x)$ 满足性质 $P (T)$ ，求证：函数 $f (x)$ 存在零点.

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22. 某市工会组织举行“红心向党”职工歌咏比赛，分初赛、复赛和决赛三个环节，初赛全市职工踊跃参与，通过各单位的初选，最终有2000名选手进入复赛，经统计，其年龄的频率分布直方图如右图所示．
附：方差 $s^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1} x_{i}^{2} - {\bar{x}}^{2}$ ．

(1)、求直方图中x的值，并估计复赛选手年龄的平均值（同一组中的数据用该区间的中点值作代表，结果保留一位小数）；

(2)、根据频率分布直方图估计复赛选手年龄的第75百分位数；

(3)、决赛由8名专业评审、10名媒体评审和12名大众评审分别打分，打分均采用10分制．已知某选手专业得分的平均数和方差分别为 ${\bar{x}}_{1} = 8.4$ ， $s_{1}^{2} = 0.015$ ，媒体得分的平均数和方差分别为 ${\bar{x}}_{2} = 8.8$ ， $s_{2}^{2} = 0.054$ ，大众得分的平均数和方差分别为 ${\bar{x}}_{3} = 9.4$ ， $s_{3}^{2} = 0.064$ ，将这30名评审的平均分作为最终得分，请估计该选手的最终得分和方差（结果保留三位小数）．

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