福建省三明市普通高中2022-2023学年高二上学期数学期末质量检测试卷

试卷更新日期：2023-02-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 抛物线 $y^{2} = 3 x$ 的焦点坐标为（）

A、 $(\frac{3}{4} ， 0)$ B、 $(\frac{3}{2} ， 0)$ C、 $(3 ， 0)$ D、 $(6 ， 0)$

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2. 直线 $x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角的大小为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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3. 若 $2 a + 1$ 是 $a - 1$ 与 $4 a - 2$ 的等差中项，则实数a的值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、5

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4. 若向量 $\vec{m} = (2 ， a ， - 4)$ ， $\vec{n} = (1 ， 2 ， b)$ ，且 $\vec{m} / / \vec{n}$ ，则 $a - 2 b$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、6 D、8

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5. 在各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} - a_{2} = 3$ ， $a_{5} - a_{3} = 18$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、16 B、 $\frac{81}{4}$ C、24 D、 $\frac{81}{2}$

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6. 已知A，B是抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的两个动点，满足 $\vec{A F} = 3 \vec{F B}$ ，其中F是C的焦点.过A，B向C的准线作垂线，垂足分别为M，N，若y轴被以MN为直径的圆E截得的线段为 $\sqrt{13}$ ，则x轴被圆E截得的线段长为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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7. 如图，AB是圆的切线，P是圆上的动点，设 $∠ P A B = θ (0 < θ < π)$ ， AP扫过的圆内阴影部分的面积S是 $θ$ 的函数.这个函数的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器——尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种.如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高 $63 c m$ ，上口直径为 $40 c m$ ，底部直径为 $26 c m$ ，最小直径为 $24 c m$ ，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、3 D、4

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二、多选题

9. 已知圆的方程为 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 0$ ，以下各点在圆内的是（）

A、 $(0 ， - 1)$ B、 $(1 ， 1)$ C、 $(2 ， - 2)$ D、 $(3 ， - 4)$

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10. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知向量 $\vec{a} = (1 ， m ， - 1)$ ， $\vec{b} = (2 n ， 1 ， 2)$ .以下各组值中能使得 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 的是（）

A、 $m = - \frac{1}{2}$ ， $n = - 1$ B、 $m = 0$ ， $n = 1$ C、 $m = 1$ ， $n = \frac{1}{2}$ D、 $m = 2$ ， $n = - 2$

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11. 若n，m， $9 n$ 成等比数列，则圆锥曲线 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n} = 1$ 的离心率可以是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、2

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12. 已知函数 $f (x) = 3 | x + 2 | - 2 | x + 1 |$ ，数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} < 0$ ，且 $a_{n + 1} = f (a_{n})$ ， $n \in N^{*}$ .若 ${a_{n}}$ 是等差数列，则 $a_{1}$ 可能取的整数是（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $- 3$ D、 $- 4$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = e^{x} + x c o s x$ ，则 $f^{'} (0) =$ .

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14. 两条平行直线 $l_{1} ： a x - y + 3 = 0$ 与 $l_{2} ： x + 2 y + 2 a = 0$ 间的距离为.

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15. 已知圆 $C_{1} ： {(x + 3)}^{2} + y^{2} = 9$ ，圆 $C_{2} ： {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ ，若动圆E与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 都外切，则圆心E的轨迹方程为.

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16. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} > 1$ ，且当 $n \in N *$ 时，都有 $(n + 1) a_{n + 1} = a_{n} + n$ .使得不等式 $M > \sqrt{\frac{a_{2} - 1}{a_{1} - 1}} + \sqrt{\frac{a_{3} - 1}{a_{2} - 1}} + ⋯ + \sqrt{\frac{a_{49} - 1}{a_{48} - 1}}$ 成立的最小正整数M的值为.

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四、解答题

17. 如图，在四边形ABCD中， $A B / / C D$ ， $A D = B C$ ， $A B = 10$ ， $C D = 4$ ，直线AB与CD间的距离为3.建立适当的平面直角坐标系，求四边形ABCD外接圆的方程，并求该圆的圆心坐标和半径.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的导数；

(2)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， 0)$ 处的切线方程.

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19. 如图，在四面体ABCD中， $∠ B A C = 60 °$ ， $∠ B A D = ∠ C A D = 45 °$ ， $A D = \sqrt{2}$ ， $A B = A C = 3$ .

(1)、求 $\vec{B C} \cdot \vec{B D}$ 的值；

(2)、已知F是线段CD中点，点E满足 $\vec{E B} = 2 \vec{A E}$ ，求线段EF的长.

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20. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 5$ ，且 $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = 3 b_{n} - 1$ .令 $c_{n} = \frac{b_{n}}{3^{n} a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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21. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = A A_{1} = 2$ ，且 $A_{1}$ 在平面ABC内的正投影为BC上的点D.过D作平面 $A B B_{1} A_{1}$ 的垂线，垂足为E，连接 $A_{1} E$ 并延长交AB于点G.

(1)、证明： $D G / /$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、若D为BC中点，求DE与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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22. 如图，已知P是圆 $A ： {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ 上的动点，过 $B (1 ， 0)$ 作直线BP的垂线，垂足为B，交AP于Q，设线段PQ中点M的轨迹为曲线E.

(1)、求E的方程；

(2)、设E与x轴交于C，D，过点M且斜率为1的直线与E的另一个交点为N，与x轴的交点为G.判断：当M在E上运动时，是否存在常数 $λ$ ，使得 $| M G | \cdot | N G | = λ | C G | \cdot | D G |$ ？若存在，求 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

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