福建省泉州市部分校2023届高三下学期数学1月联考试卷

试卷更新日期：2023-02-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \frac{2 x + 1}{3 x} \geq 1}$ ，则 $∁_{R} A =$ （）

A、 ${x | x > 1}$ B、 ${x | x \leq 0$ 或 $x > 1}$ C、 ${x | 0 < x < 1}$ D、 ${x | x < 0$ 或 $x > 1}$

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2. 已知复数 $1 - i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p ， q \in R)$ 的一个根，则 $| p + q i | =$ （）

A、4 B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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3. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为A，若 $△ A F_{1} F_{2}$ 为直角三角形，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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4. 设 $y > 0$ ， $x y + 2 y = 2$ ，则 $z = 4 x + 2 y$ 的最小值为（）

A、0 B、1 C、2 D、4

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5. 已知函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = \frac{3^{x} s i n 8 x}{9^{x} + 1}$ B、 $f (x) = \frac{3^{x} c o s 8 x}{9^{x} + 1}$ C、 $f (x) = \frac{(9^{x} + 1) \cdot s i n 8 x}{3^{x}}$ D、 $f (x) = \frac{(9^{x} + 1) \cdot c o s 8 x}{3^{x}}$

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6. 等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q (q > 0)$ ， “ $a_{2} > a_{1}$ ”是“数列 ${a_{n}}$ 单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知A，B，C为球O的球面上的三个点，若 $A B ⊥ B C$ ， $A C = 2$ ，球O的表面积为 $36 π$ ，则三棱锥 $O - A B C$ 的体积最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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8. 将5名女老师和5名男老师分配到三个社区，每名老师只去一个社区，若每个社区都必须要有女老师，且有男老师的社区至少有2名女老师，则不同的分配方法有（）

A、1880种 B、2940种 C、3740种 D、5640种

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二、多选题

9. 已知某地区有20000名同学参加某次模拟考试（满分150分），其中数学考试成绩X近似服从正态分布 $N (90 ， σ^{2}) (σ > 0)$ ，则下列说法正确的是（）
（参考数据：① $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6827$ ；② $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ；③ $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ ）

A、根据以上数据无法计算本次数学考试的平均分 B、 $σ$ 的值越大，成绩不低于100分的人数越多 C、若 $σ = 15$ ，则这次考试分数高于120分的约有46人 D、从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为 $\frac{1}{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = s i n | x | + 2 | s i n x |$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{3 π}{2} ， - π)$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 的周期为 $π$ D、 $f (x)$ 的最大值为3

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11. 已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ， $g (x)$ 为偶函数，且 $f (x) + g (x + 1) = 1$ ， $f (x + 1) - g (x) = 3$ ，则（）

A、 $g (x + 2)$ 为偶函数 B、 $f (x) - 2$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 是以3为周期的周期函数 D、 $g (x)$ 是以4为周期的周期函数

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ， $M$ 为棱 $A B$ 的中点，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B B_{1}} + μ \vec{B C}$ ，其中 $λ \in [0 ， 1]$ ， $μ \in [0 ， 1]$ ，则（）

A、当 $λ = μ$ 时， $B P / /$ 平面 $A D_{1} C$ B、当 $λ = μ = \frac{1}{2}$ 时， $M P ⊥ D_{1} P$ C、当 $λ + μ = \frac{1}{3}$ 时，三棱锥 $A M P D_{1}$ 的体积是定值 D、当点 $P$ 落在以 $A$ 为球心， $\sqrt{2}$ 为半径的球面上时， $λ + μ$ 的取值范围是 $[1 ， \sqrt{2}]$

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三、填空题

13. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $⟨ \vec{b} ， \vec{c} ⟩ = ⟨ \vec{c} ， \vec{a} ⟩ = \frac{3 π}{4}$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} + 2 \vec{c} | =$ .

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14. 写出与直线 $y = - \frac{4}{3} x$ 和 $y = 0$ 都相切且半径为1的一个圆的方程：.

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15. 双曲线C： $x^{2} - y^{2} = 1$ 的左、右顶点分别为A，B，P为C上一点，直线PA，PB与 $x = \frac{1}{2}$ 分别交于M，N两点，则 $| M N |$ 的最小值为.

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16. 若关于x的方程 $c o s (x + \frac{π}{6}) - m x + \frac{4 π m}{3} = 0 (m < 0)$ 恰有三个解 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，则 $t a n (x_{3} - x_{2}) - x_{3} =$ .

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四、解答题

17. 已知正项等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \frac{1}{a_{3} a_{4}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} = \frac{n}{n + 1}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${2^{n} a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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18. 口袋中有5个球，其中白球2个，黑球3个，每次从口袋中取一个球，若取出的是白球，则不放回，若取出的是黑球，则放回袋中.

(1)、求在第2次取出的是黑球的条件下，第1次取出的是白球的概率；

(2)、求取了3次后，取出的白球的个数的分布列及数学期望.

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19. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $b c o s C - c c o s B = c$ .

(1)、证明： $B = 2 C$ ；

(2)、求 $\frac{a + b}{c}$ 的取值范围.

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20. 如图所示，在四棱锥 $A - B C D E$ 中， $△ A B C$ 是等边三角形， $C D / / B E$ ， $B D ⊥ C D$ ，记平面ACD与平面ABE的交线为l.

(1)、证明： $l / / C D$ .

(2)、若 $A D = B E = \sqrt{2} C D = 2$ ， $D E = \sqrt{6}$ ， Q为l上一点，求BC与平面QBD所成角的正弦值的最大值.

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21. 已知F为抛物线C： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点， $M (- 4 ， m)$ 是C上一点，M位于F的上方且 $| M F | = 5$ .

(1)、求p；

(2)、若点P在直线 $x + y + 3 = 0$ 上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求 $| A F | | B F |$ 的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x l n x}{e^{x}}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、已知 $a > 0$ ，对 $\forall x \in (1 ， + \infty)$ ， $f (x) < a l n a + a x$ ，求a的取值范围.

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