安徽省十校联盟2023届高三下学期数学开学考试试卷

试卷更新日期：2023-02-13 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | \frac{1}{4} \leq 2^{x} \leq 4}$ ， $B = {x | - 4 \leq x < - 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）．

A、 $[- 4 ， 2]$ B、 $[- 2 ， - 1)$ C、 $(- 1 ， 2]$ D、 $[- 2 ， - 1]$

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2. 疫情期间，部分小区实行封控管理，志愿者的服务态度成为了影响居民生活质量的重要因素之一，因此对志愿者的管理也成为疫情期间必不可少的环节之一．为了解志愿者服务的相关情况，调研人员现要求A小区居民对志愿者的服务态度进行打分，所得分数统计如下图所示，据此可以估计，A小区志愿者服务态度的平均分为（）．

A、85 B、82.5 C、80 D、75

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3. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， - 3)$ ， $\vec{b} = (1 ， 4)$ ， $\vec{c} = (λ ， - 2)$ ，若 $| \vec{a} + 2 \vec{b} + \vec{c} | = 5$ ，则实数 $λ =$ （）．

A、1或 $- 4$ B、 $- 1$ 或4 C、0或8 D、0或 $- 8$

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4. 已知 $a = 2^{0.3}$ ， $b = l o g_{3} 2.8$ ， $c = l o g_{9} 7.8$ ，则a，b，c的大小关系为（）．

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $c > b > a$

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5. 已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为 $\frac{4 π}{5}$ ，则该圆锥的体积为（）．

A、 $\frac{62 \sqrt{21}}{3} π$ B、 $32 \sqrt{6} π$ C、 $16 \sqrt{6} π$ D、 $\frac{32 \sqrt{21}}{3} π$

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6. 若直线 $y = a x - 1$ 是曲线 $f (x) = x + l n x$ 在某点处的切线，则实数 $a =$ （）．

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、3

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7. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的函数，且 $f (x + 1)$ 为奇函数．若函数 $g (x) = l n (\sqrt{x^{2} - 2 x + 2} - x + 1)$ 与函数 $f (x)$ 图像有5个交点，其横坐标从左到右依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} =$ （）．

A、0 B、5 C、6 D、10

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8. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P是E右支上一点， $∠ F_{1} P F_{2} = 120 °$ ， O是坐标原点， $∠ P O F_{1} = 120 °$ ，则E的离心率为（）．

A、 $\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$ B、 $3 \sqrt{2} + \sqrt{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$ D、 $\sqrt{10} - \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 若复数 $z_{1} = 1 + 2 i$ ， $z_{2} = 7 - 3 i$ ，则下列说法正确的是（）．

A、 $| z_{1} | = \sqrt{5}$ B、在复平面内，复数 $z_{2}$ 所对应的点位于第四象限 C、 $z_{1} \cdot z_{2}$ 的实部为13 D、 $z_{1} \cdot z_{2}$ 的虚部为 $- 11$

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10. 若经过点 $P (1 ， 3)$ 的直线与抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 恒有公共点，则C的准线可能是（）．

A、 $x = - 2$ B、 $x = - 3$ C、 $x = - \sqrt{2}$ D、 $x = - 2 \sqrt{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = - 4 c o s x c o s (x + \frac{π}{3}) + 1$ ，则下列说法正确的是（）．

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $x = \frac{5 π}{6}$ 为函数 $f (x)$ 图像的一条对称轴 C、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{4 π}{3} ， \frac{19 π}{12}]$ 上单调递减 D、函数 $y = f (x) + \frac{3}{2}$ 在 $[0 ， π]$ 上有3个零点

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，过棱 $A B$ ， $B C$ 的中点E，F作正方体的截面，下列说法正确的是（）．

A、该正方体外接球的表面积是 $48 π$ B、若截面是正六边形，则直线 $B_{1} D$ 与截面垂直 C、若截面是正六边形，则直线 $D_{1} B$ 与截面所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$ D、若截面过 $D_{1}$ 点，则截面周长为 $2 \sqrt{13} + \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 已知直线 $l ： y = k x (k > 0)$ 与圆 $M ： {(x - \frac{8}{3})}^{2} + y^{2} = \frac{16}{9}$ 相切，则实数 $k =$ ．

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14. 若 $(a x - y) {(x + y)}^{6}$ 的展开式中 $x^{5} y^{2}$ 的系数为9，则实数 $a =$ ．

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15. 数字中暗藏着一些潜在的规律，古希腊毕达哥拉斯学派通过石子的排列发现了三角形数、正方形数等；有时将数字进行拆分后也能够发现新的规律，现将一组数据拆分如下：
$\frac{1}{1}$ ，
$\frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{1}$ ，
$\frac{1}{3}$ ， $\frac{2}{2}$ ， $\frac{3}{1}$ ，
$\frac{1}{4}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{2}$ ， $\frac{4}{1}$ ，
……
观察可知，这组数据中的第8个数为 $\frac{2}{3}$ ，则 $\frac{3}{98}$ 是该组数据的第个数．

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16. 若不等式 $λ e^{x} + l n λ \geq l n x$ 对 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，则正数 $λ$ 的取值范围为．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $c c o s B + (b - 2 a) c o s C = 0$ ．

(1)、求C；

(2)、若 $b = 3 a$ ，求 $c o s B$ ．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{1} = 3$ ，且 $2 S_{n} S_{n + 1} + 2 (n + 1) a_{n + 1} = S_{n} + S_{n + 1}$ ．

(1)、求证：数列 ${\frac{2 n + 1}{S_{n}}}$ 为等差数列；

(2)、若 $b_{n} = \frac{2 n + 1}{S_{n}} \cdot 2^{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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19. 某大型国有企业计划在某双一流大学进行招聘面试，面试共分两轮，且第一轮通过后才能进入第二轮面试，两轮均通过方可录用．甲、乙、丙、丁4名同学参加面试，已知这4人面试第一轮通过的概率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{4}{5}$ ， $\frac{3}{4}$ ， $\frac{3}{4}$ ，面试笫二轮通过的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{5}{12}$ ， $\frac{4}{9}$ ， $\frac{2}{3}$ ，且4人的面试结果相互独立．

(1)、求甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被录用的概率；

(2)、记甲、乙、丙、丁4人中最终被录用的人数为X，求X的分布列和数学期望．

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20. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为梯形， $A B / / C D$ ， $A B = 2 C D$ ， $A D = S D$ ， $△ A B S$ 为正三角形， $S C ⊥ B C$ ， $C B = C S$ ， O为 $S B$ 的中点．

(1)、求证； $O C ⊥$ 平面 $S A B$ ；

(2)、求二面角 $C - S A - D$ 的余弦值．

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F，P，Q分别为右顶点和上顶点，O为坐标原点， $\frac{| F P |}{| O F |} + \frac{| F P |}{| O P |} = 3 e$ （e为椭圆的离心率）， $△ O P Q$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求E的方程；

(2)、设四边形 $A B C D$ 是椭圆E的内接四边形，直线 $A B$ 与 $C D$ 的倾斜角互补，且交于点 $(3 ， 0)$ ，求证：直线 $A C$ 与 $B D$ 交于定点．

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{- x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若a，b为两个不相等的实数，且满足 $a e^{b} - b e^{a} = 2 (e^{b} - e^{a})$ ，求证： $a + b > 6$ ．

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