安徽省名校联盟2023届高三下学期数学开学模拟考试试卷

试卷更新日期：2023-02-13 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5} ， A = {1 ， 3 ， 4} ， B = {4 ， 5}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）．

A、{3} B、{1，3} C、{3，4} D、{1，3，4}

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2. 已知i为虚数单位，则复数 $(1 - i) (2 - i) =$ （）

A、 $- 1 - 3 i$ B、 $- 1 + 3 i$ C、 $1 - 3 i$ D、 $1 + 3 i$

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3. 已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝ $\frac{2 π}{3}$ ，点D在线段BC上，且 $S_{△ A C D} = 3 S_{△ A B D}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A D}$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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4. 古希腊亚历山大时期的数学家帕普斯在《数学汇编》第3卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即 $V = s l$ （ $V$ 表示平面图形绕旋转轴旋转的体积， $s$ 表示平面图形的面积， $l$ 表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）.如图直角梯形 $A B C D$ ，已知 $A D ∥ B C ， A B ⊥ A D ， A D = 4 ， B C = 2$ ，则重心 $G$ 到 $A B$ 的距离为（）

A、 $\frac{14}{9}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、3 D、2

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5. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦点关于渐近线的对称点在双曲线 $E$ 上，则双曲线 $E$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{2}$

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} \cdot a_{n + 1} \cdot a_{n + 2} = - \frac{1}{2}$ ， $a_{1} = - 2 ， a_{2} = \frac{1}{4}$ ，则 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积的最大值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、4

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7. 若函数 $f (x)$ 在其定义域内存在实数 $x$ 满足 $f (- x) = - f (x)$ ，则称函数 $f (x)$ 为“局部奇函数”.知函数 $f (x) = 9^{x} - m \cdot 3^{x} - 3$ 是定义在 $R$ 上的“局部奇函数”，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2 \sqrt{2} ， \sqrt{3}]$ B、 $[- \sqrt{3} ， 3]$ C、 $(- \infty ， 2 \sqrt{2}]$ D、 $[- 2 ， + \infty)$

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8. 如图，在三棱锥 $A - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $∠ A_{1} B_{1} C_{1} = 9 0^{∘}$ ， $A_{1} B_{1} = 2 A A_{1} = 2 B_{1} C_{1} = 2$ ， $P$ 为线段 $A B_{1}$ 的中点， $M ， N$ 分别为线段 $A C_{1}$ 和线段 $B_{1} C_{1}$ 上任意一点，则 $\sqrt{5} P M + M N$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、2

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二、多选题

9. 已知 $a > b > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{b}{a} > \frac{b + 3}{a + 3}$ B、 $\frac{3 a + 2 b}{2 a + 3 b} < \frac{a}{b}$ C、 $2 \sqrt{a} < \sqrt{a - b} + \sqrt{b}$ D、 $l g \frac{a + b}{2} > \frac{l g a + l g b}{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x + c o s ω x (0 < ω < 3)$ 满足 $f (x + \frac{π}{2}) = - f (x)$ ，其图象向右平移 $s (s \in N^{*})$ 个单位后得到函数 $y = g (x)$ 的图象，且 $y = g (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6}]$ 上单调递减，则（）

A、 $ω = 1$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ 对称 C、 $s$ 可以等于5 D、 $s$ 的最小值为2

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11. 已知O为坐标原点，点F为抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点，点 $P (4 ， 4)$ ，直线 $l$ ： $x = m y + 1$ 交抛物线C于A，B两点（不与P点重合），则以下说法正确的是（）

A、 $| F A | \geq 1$ B、存在实数 $m$ ，使得 $∠ A O B < \frac{π}{2}$ C、若 $A F = 2 B F$ ，则 $m = \pm \frac{\sqrt{2}}{4}$ D、若直线PA与PB的倾斜角互补，则 $m = - 2$

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12. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的图像连续不间断，当 $x \geq 0$ 时， $f (1 + x) = 2 f (1 - x)$ ，且当 $x > 0$ 时， $f^{'} (1 + x) + f^{'} (1 - x) < 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 1]$ 上单调递增 C、若 $x_{1} < x_{2} ， f (x_{1}) < f (x_{2})$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 2$ D、若 $x_{1} ， x_{2}$ 是 $g (x) = f (x) - c o s π x$ 在区间 $(0 ， 2)$ 内的两个零点，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $1 < \frac{f (x_{2})}{f (x_{1})} < 2$

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三、填空题

13. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，若过定点 $P (1 ， 1)$ 有且仅有一条直线被圆 $C$ 截得弦长为2，则 $r$ 可以是．（只需要写出其中一个值，若写出多个答案，则按第一个答案计分.）

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14. 已知在四面体 $V - A B C$ 中， $V A = V B = V C = \sqrt{3} ， A B = \sqrt{2} ， ∠ A C B = \frac{π}{4}$ ，则该四面体外接球的表面积为.

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 4 x + 3 ， x \geq 0 \\ | x + 3 | ， x < 0 \end{array} ， g (x) = k x + 2$ ，若函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 的图象经过四个象限，则实数 $k$ 的取值范围是.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = l n a_{n} + 2$ ，记 $T_{n} = \sum_{i = 1}^{n} [a_{i}]$ （其中 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，比如 $[- 0.5] = - 1 ， [2] = 2$ ），则 $T_{2023} =$ .（参考数据： $l n 2 \approx 0.6931 ， l n 3 \approx 1.0986 ， l n 5 \approx 1.6094 ， e \approx 2.718 ， e^{0.8} \approx 2.2255$ ）

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四、解答题

17. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $4 S_{n} = a_{n}^{2} + 2 a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{3 \cdot 2^{a_{n}}}{(2^{a_{n}} - 1) (2^{a_{n + 1}} - 1)}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{1}{3}$ .

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18. 在① $a c o s C + c c o s A = \frac{5}{4} b c o s B$ ， ② $5 s i n (\frac{π}{2} + B) + 5 s i n (- B) = 1$ ， ③ $B \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $c o s 2 B = c o s B - \frac{13}{25}$ ．这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答．
已知 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且____．

(1)、求 $t a n 2 B$ 的值；

(2)、若 $t a n A = - \frac{12}{5} ， c = \frac{11}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的周长与面积．

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19. 由中央电视台综合频道（CCTV-1）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱．为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的2×2列联表．

非常喜欢
喜欢
合计
A
30
15
B
x
y
合计
已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0.35．
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ，
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.05
0.010
0.001
$k_{0}$
3.841
6.635
10.828

(1)、现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？

(2)、完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．

(3)、若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望．

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20. 如图，在几何体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为矩形， $A F ∥ D E$ ， $A F ⊥ E F$ ， $A F = 2 D E = 2 E F = 2$ ， $A D = \sqrt{2}$ .

(1)、证明： $A D ⊥ C F$ ；

(2)、若面 $A D E F ⊥$ 面 $A B C D$ ，且直线BE与平面 $A B F$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求此时矩形 $A B C D$ 的面积.

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21. 已知椭圆 $T ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，斜率为 $- \frac{1}{2}$ 的直线 $l_{1}$ 与椭圆 $T$ 只有一个公共点 $P (1 ， \frac{3}{2})$

(1)、求椭圆 $T$ 的标准方程；

(2)、过椭圆右焦点 $F$ 的直线与椭圆 $T$ 相交于 $A ， B$ 两点，点 $C$ 在直线 $l_{2} ： x = 4$ 上，且 $B C / / x$ 轴，求直线 $A C$ 在 $x$ 轴上的截距.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{x^{2}}{4} - 1$ ， $g (x) = a l n (x + 1)$

(1)、证明：当 $a = 1$ 时， $f (x) ≥ g (x)$ ；

(2)、 $x > 0$ 时，设 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，讨论 $h (x)$ 零点的个数

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	非常喜欢	喜欢	合计
A	30	15
B	x	y
合计

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.05	0.010	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	10.828