安徽省六校教育研究会2023届高三下学期数学入学素质测试试卷

试卷更新日期：2023-02-13 类型：开学考试

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一、单选题

1. 设复数 $z = \cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3}$ ，则在复平面内 $\frac{z + 1}{z}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = {(x ， y) | x y = 1}$ ， $B = {(x ， y) | x \in Z ， y \in Z}$ ，则 $A \cap B$ 有（）个真子集.

A、3 B、16 C、15 D、4

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3. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， “函数 $f (x) = a^{x}$ 为增函数”是“函数 $g (x) = x^{a - 1}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道（将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点）.2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道远火点（椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点）平面机动，同时将近火点高度调整至约265km．若此时远火点距离约为11945km，火星半径约为3395km，则调整后天问一号的运行轨迹（环火轨道曲线）的焦距约为（）

A、11680km B、5840km C、19000km D、9500km

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5. 如图，一种棱台形状的无盖容器（无上底面 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ ）模型其上、下底面均为正方形，面积分别为 $4 c m^{2}$ ， $9 c m^{2}$ ，且 $A_{1} A = B_{1} B = C_{1} C = D_{1} D$ ，若该容器模型的体积为 $\frac{19}{3} c m^{3}$ ，则该容器模型的表面积为（）

A、 $(5 \sqrt{3} + 9) c m^{2}$ B、 $19 c m^{2}$ C、 $(5 \sqrt{5} + 9) c m^{2}$ D、 $(5 \sqrt{37} + 9) c m^{2}$

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6. 在 $△ A B C$ 中， $| A B | = 3$ ， $| A C | = 2$ ， $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ ，则直线 $A D$ 通过 $△ A B C$ 的（）

A、垂心 B、外心 C、重心 D、内心

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7. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为60°的单位向量，若对任意的 $x_{1}$ ､ $x_{2}$ $\in (m ， + \infty)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ， $\frac{x_{1} l n x_{2} - x_{2} l n x_{1}}{x_{1} - x_{2}} > | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[e^{2} ， + \infty)$ B、 $[e ， + \infty)$ C、 $[\frac{1}{e} ， + ∞)$ D、 $[\frac{1}{e} ， e)$

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8. 已知直线l与曲线 $y = e^{x}$ 相切，切点为P，直线l与x轴、y轴分别交于点A，B，O为坐标原点．若 $△ O A B$ 的面积为 $\frac{1}{e}$ ，则点P的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、多选题

9. 以下四个命题中，真命题的有（）

A、在回归分析中，可用相关指数 $R^{2}$ 的值判断模型的拟合效果， $R^{2}$ 越大，模型的拟合效果越好； B、回归模型中残差是实际值 $y_{i}$ 与估计值 $\hat{y}$ 的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高； C、对分类变量 $x$ 与 $y$ 的统计量 $χ^{2}$ 来说， $χ^{2}$ 值越小，判断“ $x$ 与 $y$ 有关系”的把握程度越大． D、已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (n ， \frac{1}{3})$ ，若 $E (3 X + 1) = 6$ ，则 $n = 6$ ．

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10. 2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数 $f (x) = A s i n (ω x + ϕ)$ $(A ， ω \in N^{*} ， | ϕ | < \frac{π}{3})$ 的图像，而破碎的涌潮的图像近似 $f^{'} (x)$ （ $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数）的图像．已知当 $x = 2 π$ 时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为 $- 4$ ，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $f (\frac{π}{3}) = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ C、 $f^{'} (x + \frac{π}{4})$ 的图像关于原点对称 D、 $f^{'} (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 上单调

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11. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $B C$ 的中点，则（）

A、异面直线 $D D_{1}$ 与 $B_{1} F$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、点 $P$ 为正方形 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 内一点，当 $D P$ $∥$ 平面 $B_{1} E F$ 时， $D P$ 的最小值为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、过点 $D_{1}$ ， $E$ ， $F$ 的平面截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面周长为 $2 \sqrt{13} + \sqrt{2}$ D、当三棱锥 $B_{1} - B E F$ 的所有顶点都在球 $O$ 的表面上时，球 $O$ 的表面积为 $6 π$

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12. 对于正整数n， $φ (n)$ 是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目．函数 $φ (n)$ 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，又称为 $φ$ 函数，例如 $φ (10) = 4$ ，（10与1，3，7，9均互质）则（）

A、 $φ (12) + φ (29) = 32$ B、数列 ${φ (2 n)}$ 不是单调递增数列 C、若p为质数，则数列 ${φ (p^{n})}$ 为等比数列 D、数列 ${\frac{n}{φ (3^{n})}}$ 的前4项和等于 $\frac{58}{27}$

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三、填空题

13. 在 ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含 $x^{3}$ 项的系数为．

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14. 曲线 $f (x) = (x + m) l n x (m \in R)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线平分圆 $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 5$ ，则函数 $y = f (x)$ 的零点为．

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15. 已知函数 $f (x) = 3 s i n (ω x - \frac{π}{6} + φ) (0 < ω < 4 ， 0 < φ < π)$ ，若 $f (\frac{π}{2}) = - 3$ ， $f (x) = f (| x |)$ ，则 $f (\frac{π}{6}) =$ ．

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16. 设抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ 与 $x$ 轴的交点为N，过抛物线上一点 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $Q$ ，若 $M (3 ， 0)$ ， $P F$ 与 $M Q$ 相交于点 $T$ ，且 $\vec{T N} + \vec{T P} = \vec{M T}$ ，则点 $T$ 的纵坐标为．

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四、解答题

17. 等差数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 中， $a_{1} ， a_{2} ， a_{3}$ 分别是如表所示第一、二、三行中的某一个数，且其中的任意两个数不在表格的同一列.

第一列
第二列
第三列
第一行
5
8
2
第二行
4
3
12
第三行
16
6
9

(1)、请选择一个可能的 ${a_{1} ， a_{2} ， a_{3}}$ 组合，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

(2)、记（1）中您选择的 ${a_{n}}$ 的前n项和为Sn，判断是否存在正整数k，使得 $a_{1} ， a_{k} ， {S_{k}}_{+ 2}$ 成等比数列?若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.

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18. 某高档小区有一个池塘，其形状为直角 $△ A B C$ ， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 2$ 百米， $B C = 1$ 百米，现准备养一批观赏鱼供小区居民观赏．

(1)、若在 $△ A B C$ 内部取一点P，建造APC连廊供居民观赏，如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且 $∠ C P B = \frac{2 π}{3}$ ，求连廊 $A P + P C$ 的长；

(2)、若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，建造 $△ D E F$ 连廊供居民观赏，如图②，使得 $△ D E F$ 为正三角形，求 $△ D E F$ 连廊长的最小值．

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19. 2020年席卷全球的新冠肺炎给世界人民带来了巨大的灾难，面对新冠肺炎，早发现、早诊断、早隔离、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一.某社区对 $55$ 位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，先到社区医务室进行口拭子核酸检测，检测结果成阳性者，再到医院做进一步检查，已知随机一人其口拭子核酸检测结果成阳性的概率为 $2$ %，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.

(1)、假设该疾病患病的概率是 $0.3$ %，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为 $98$ %，设这 $55$ 位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；

(2)、根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将 $55$ 位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：
方案一：将 $55$ 位居民分成 $11$ 组，每组 $5$ 人；
方案二：将 $55$ 位居民分成 $5$ 组，每组 $11$ 人；
试分析哪一个方案的工作量更少？
（参考数据： $0.9 8^{5} = 0.904$ ， $0.9 8^{11} = 0.801$ ）

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20. 图1是直角梯形ABCD， $A B / / C D$ ， ∠D＝90°，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且∠BCE＝60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达 $C_{1}$ 的位置，且 $A C_{1} = \sqrt{6}$ ．

(1)、求证：平面 $B C_{1} E ⊥$ 平面ABED．

(2)、在棱 $D C_{1}$ 上是否存在点P，使得点P到平面 $A B C_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ？若存在，求出直线EP与平面 $A B C_{1}$ 所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．

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21. 已知双曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F (\sqrt{3} ， 0)$ ，渐近线与抛物线 $C_{2} ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于点 $(1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求 $C_{1} ， C_{2}$ 的方程；

(2)、设 $A$ 是 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 在第一象限的公共点，作直线 $l$ 与 $C_{1}$ 的两支分别交于点 $M ， N$ ，便得 $A M ⊥ A N$ .
（i）求证：直线 $M N$ 过定点；
（ii）过 $A$ 作 $A D ⊥ M N$ 于 $D$ .是否存在定点 $P$ ，使得 $| D P |$ 为定值？如果有，请求出点 $P$ 的坐标；如果没有，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - e^{x - 1}$ ．

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，证明： $f (x)$ 在 $R$ 上为减函数．

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时， $f (x) \leq a \cos x$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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	第一列	第二列	第三列
第一行	5	8	2
第二行	4	3	12
第三行	16	6	9