2023年中考数学精选真题实战测试39 菱形 A

试卷更新日期：2023-02-11 类型：二轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. 如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（）

A、若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B、若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C、若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D、若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形

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2. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，分别以 $C$ 、 $D$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} C D$ 为半径画弧，两弧分别交于点 $M$ 、 $N$ ，连接 $M N$ ，若直线 $M N$ 恰好过点 $A$ 与边 $C D$ 交于点 $E$ ，连接 $B E$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $∠ B C D = 120 °$ B、若 $A B = 3$ ，则 $B E = 4$ C、 $C E = \frac{1}{2} B C$ D、 $S_{△ A D E} = \frac{1}{2} S_{△ A B E}$

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3. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32 $\sqrt{3}$ ，则CD的长为（）

A、4 B、4 $\sqrt{3}$ C、8 D、8 $\sqrt{3}$

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4. 如图，菱形ABCD中，AB＝2 $\sqrt{3}$ ， ∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{6}$ D、3

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5. 由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 如图，菱形 $A B C D$ 中，点E是边 $C D$ 的中点， $E F$ 垂直 $A B$ 交 $A B$ 的延长线于点F，若 $B F ： C E = 1 ： 2 ， E F = \sqrt{7}$ ，则菱形 $A B C D$ 的边长是（）

A、3 B、4 C、5 D、 $\frac{4}{5} \sqrt{7}$

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7. 如图1，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿折线 $A D \to D C \to C B$ 方向匀速运动，运动到点 $B$ 停止.设点 $P$ 的运动路程为 $x$ ， $△ A P B$ 的面积为 $y$ ， $y$ 与 $x$ 的函数图象如图2所示，则 $A B$ 的长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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8. 如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G，若cosB＝ $\frac{1}{4}$ ，则FG的长是（）

A、3 B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{15}}{3}$ D、 $\frac{5}{2}$

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9. 如图，菱形 ABCD 对角线交点与坐标原点 O 重合，点 A（-2，5），则点C的坐标为（）

A、 $(5 ， - 2)$ B、 $(2 ， - 5)$ C、 $(2 ， 5)$ D、 $(- 2 ， - 5)$

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10. 如图，在边长为1的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ，动点E在 $A B$ 边上（与点A、B均不重合），点F在对角线 $A C$ 上， $C E$ 与 $B F$ 相交于点G，连接 $A G ， D F$ ，若 $A F = B E$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $D F = C E$ B、 $∠ B G C = 120 °$ C、 $A F^{2} = E G \cdot E C$ D、 $A G$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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二、填空题（每空3分，共18分）

11. 已知菱形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ， $A C = 8 c m$ ， $B D = 6 c m$ ，则菱形的面积为 $c m^{2}$ .

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12. 如图，菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ A B C = 60 °$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $E$ 为 $O B$ 中点， $F$ 为 $A D$ 中点，连接 $E F$ ，则 $E F$ 的长为．

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13. 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=80°，延长BC到E，在∠DCE内作射钱CM，使得∠ECM=30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F.若DF= $\sqrt{6}$ ，则BD的长为（结果保留很号）.

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14. 菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ A B C = 45 °$ ，点 $P$ 、 $Q$ 分别是 $B C$ 、 $B D$ 上的动点， $C Q + P Q$ 的最小值为.

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15. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是（限填序号）.

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16. 如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AB，AC上的动点（不与端点重合），且BE＝AF，BF与CE交于点P，延长BF交边AD（或边CD）于点G，连接OP，OG，则下列结论：①△ABF≌△BCE；②当BE＝2时，△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1：3；③当BE＝4时，BE：CG＝2：1；④线段OP的最小值为2 $\sqrt{5}$ ﹣2 $\sqrt{3}$ ．其中正确的是．（请填写序号）

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 如图，四边形 $A B C D$ 中，AB $∥$ DC， $A B = B C$ ， $A D ⊥ D C$ 于点 $D$ ．

(1)、用尺规作 $∠ A B C$ 的角平分线，交 $C D$ 于点 $E$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、连接 $A E$ ．求证：四边形 $A B C E$ 是菱形．

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18. 如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．

(1)、求证：△ABE≌△ADF；

(2)、若AE=4，CF=2，求菱形的边长．

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19. 如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．

(1)、求证： $△ D C E ≌ △ B C E$ ；

(2)、求证： $∠ A F D = ∠ E B C$ ．

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20. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B < B C$ ．点D是 $A C$ 的中点，过点D作 $D E ⊥ A C$ 交 $B C$ 于点E.延长 $E D$ 至点F，使得 $D F = D E$ ，连接 $A E$ 、 $A F$ 、 $C F$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是菱形；

(2)、若 $\frac{B E}{E C} = \frac{1}{4}$ ，则 $t a n ∠ B C F$ 的值为．

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21. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8 ， A D = 4$ ，点E是 $D C$ 边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作 $A F ⊥ A E$ 交 $C B$ 的延长线于点F，设 $D E = a$ ．

(1)、求 $B F$ 的长（用含a的代数式表示）；

(2)、连接 $E F$ 交 $A B$ 于点G，连接 $G C$ ，当 $G C // A E$ 时，求证：四边形 $A G C E$ 是菱形．

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22. 如图，点 $E$ ， $F$ 分别在 $▱ A B C D$ 的边 $A B$ ， $B C$ 上， $A E = C F$ ，连接 $D E$ ， $D F$ .请从以下三个条件：① $∠ 1 = ∠ 2$ ；② $D E = D F$ ；③ $∠ 3 = ∠ 4$ 中，选择一个合适的作为已知条件，使 $▱ A B C D$ 为菱形.

(1)、你添加的条件是（填序号）；

(2)、添加了条件后，请证明 $▱ A B C D$ 为菱形.

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23. 在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究.如图（1），在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B$ 为锐角， $E$ 为 $B C$ 中点，连接 $D E$ ，将菱形 $A B C D$ 沿 $D E$ 折叠，得到四边形 $A^{'} B^{'} E D$ ，点 $A$ 的对应点为点 $A ′$ ，点 $B$ 的对应点为点 $B ′$ .

(1)、【观察发现】 $A^{'} D$ 与 $B^{'} E$ 的位置关系是；

(2)、【思考表达】连接 $B^{'} C$ ，判断 $∠ D E C$ 与 $∠ B^{'} C E$ 是否相等，并说明理由；

(3)、如图（2），延长 $D C$ 交 $A^{'} B^{'}$ 于点 $G$ ，连接 $E G$ ，请探究 $∠ D E G$ 的度数，并说明理由；

(4)、【综合运用】如图（3），当 $∠ B = 60 °$ 时，连接 $B^{'} C$ ，延长 $D C$ 交 $A^{'} B^{'}$ 于点 $G$ ，连接 $E G$ ，请写出 $B^{'} C$ 、 $E G$ 、 $D G$ 之间的数量关系，并说明理由.

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24. 已知 $△ A B C ≌ △ D E C$ ， AB＝AC，AB＞BC.

(1)、如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；

(2)、如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；

(3)、如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若 $∠ B A D = ∠ B C D$ ，求∠ADB的度数.

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