2023届高三数学二轮专题复习--数列

试卷更新日期：2023-02-09 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{1} = 3$ ， $a_{4} + a_{6} = - 10$ .若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{n} + a_{n + 1} (n = 1 ， 2 ， ⋯)$ ，记 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{8} =$ （）

A、 $- 32$ B、 $- 80$ C、 $- 192$ D、 $- 224$

查看试题解析
2. 已知 ${a_{n}}$ 是等比数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，给出以下命题：
① ${a_{n} + a_{n + 1}}$ 是等比数列；② ${a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ 是等比数列；③ $S_{m}$ ， $S_{2 m} - S_{m}$ ， $S_{3 m} - S_{2 m}$ ， …是等比数列；
④ ${l g | a_{n} |}$ 是等比数列，⑤若 $S_{n} = a \cdot q^{n} + b$ ，则 $a + b = 0$ .其中正确命题的个数为（）

A、5 B、4 C、3 D、2

查看试题解析
3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 2$ ， $S_{3} = S_{21}$ ，则 $S_{23} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
4. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} > 0$ ，且 $S_{n}^{2} - (2 n - 1) S_{n} = S_{n - 1}^{2} + (2 n - 1) S_{n - 1} (n \geq 2)$ ，则 $b_{n} = \frac{S_{n}^{2}}{2^{a_{n}}}$ 的最大值是（）

A、2 B、 $\frac{625}{512}$ C、 $\frac{81}{32}$ D、 $\frac{243}{64}$

查看试题解析
5. 在数列 ${a_{n}}$ 中，“数列 ${a_{n}}$ 是等比数列”是“ $a_{2}^{2} = a_{1} a_{3}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
6. 已知各项为正的数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = \frac{1}{4} {(a_{n} + 1)}^{2}$ ，则 $\frac{2 S_{n} + 6}{a_{n} + 3}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、4 C、3 D、2

查看试题解析
7. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{2020} < S_{2021}$ ，且 $S_{2021} > S_{2022}$ ， $| a_{2021} | > | a_{2022} |$ ，则满足 $S_{n} > 0$ 的最大的正整数 $n =$ （）

A、2021 B、2022 C、4042 D、4043

查看试题解析
8. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} - 11 n$ . 若 $7 < a_{k} < 10$ ，则 $k =$ （）

A、 $9$ B、 $10$ C、 $11$ D、 $12$

查看试题解析
9. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 3^{n}$ ，则 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ （）

A、 $\frac{3^{n} + 1}{4}$ B、 $\frac{3^{n + 1} - 3}{2}$ C、 $\frac{3^{n} - 1}{2}$ D、 $\frac{3^{n + 1} - 5}{4}$

查看试题解析
10. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 4$ ， $a_{m + n} = a_{m} + a_{n}$ ，则 $a_{11} + a_{12} + a_{13} + \cdot \cdot \cdot + a_{19} =$ （）

A、95 B、145 C、270 D、520

查看试题解析
11. 设 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.已知 $S_{3} = - 3$ ， $a_{5} = 2$ ，则（）

A、 ${a_{n}}$ 为递减数列 B、 $a_{3} = 0$ C、 $S_{n}$ 有最大值 D、 $S_{6} = 0$

查看试题解析
12. 若一个等差数列{a_n}的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）

A、13项 B、12项 C、11项 D、10项

查看试题解析
13. 已知两个等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为A_n和B_n ，且 $\frac{A_{n}}{B_{n}} = \frac{5 n + 3}{n + 3}$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{5}}$ 的值（）

A、2 B、 $\frac{7}{2}$ C、4 D、5

查看试题解析
14. 含2n+1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为（）

A、 $\frac{2 n + 1}{n}$ B、 $\frac{n + 1}{n}$ C、 $\frac{n - 1}{n}$ D、 $\frac{n + 1}{2 n}$

查看试题解析
15. 数列{a_n}的通项公式为 $a_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \cdot (4 n - 3)$ ，则它的前100项和S₁₀₀等于（）

A、200 B、-200 C、400 D、-400

查看试题解析

二、多选题

16. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，公差为 $d$ ，且 $S_{15} < S_{14} < S_{16}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $d > 0$ B、 $d < 0$ C、 $S_{30} > 0$ D、当 $n = 15$ 时， $S_{n}$ 取得最小值

查看试题解析
17. 已知两个等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{3 n + 39}{n + 3}$ ，则使得 $\frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，为整数的正整数n的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、14

查看试题解析
18. 在等差数列{a_n}中， a₆₆<0 a₆₇>o，且a₆₇>|a₆₆|，S_n为数列{a_n}的前n项和，则（）

A、公差d<0 B、a₆₆+a₆₇<0 C、 $S_{131} < 0$ D、使S_n>0的n的最小值为132

查看试题解析
19. 以下为自然数从小到大依次排成的数阵：
1
2    3
4    5    6    7
8    9    10   11    12    13    14    15
……
第 $n$ 行有 $2^{n - 1}$ 个数，则（    ）．

A、该数阵第 $n$ 行第一个数为 $2^{n - 1}$ B、该数阵第 $n$ 行所有数的和为 $2^{2 n - 3} + 2^{n - 2}$ C、该数阵第 $n$ 行最后一个数为 $2^{n} - 1$ D、若数阵前 $n$ 行总和为 $B_{n}$ ， $B_{n} < 2023$ ，则 $n$ 的最大值为7

查看试题解析
20. 已知数列{a_n}满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 + 3 a_{n}} (n \in N^{*})$ ，则下列结论正确的有（）

A、 ${\frac{1}{a_{n}} + 3}$ 为等比数列 B、{a_n}的通项公式为 $a_{n} = \frac{1}{2^{n + 1} - 3}$ C、{a_n}为递增数列 D、 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前n项和 $T_{n} = 2^{n + 2} - 3 n - 4$

查看试题解析

三、填空题

21. 在各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $S_{10} = 10$ ， $S_{20} = 30$ ，则 $S_{30} =$ .

查看试题解析
22. 已知等差数列{a_n}共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则公差是.

查看试题解析
23. 在等差数列{a_n}中，S_n是其前n项和，a₁=-11， $\frac{S_{10}}{10} - \frac{S_{8}}{8}$ =2，则S₁₁=

查看试题解析
24. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2 ， a_{n + 1} - 2 = a_{n} + 2 n (n \in N^{*})$ ，则数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前2022项的和为.

查看试题解析

四、解答题

25. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和．

(1)、证明 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 是等差数列；

(2)、设 $T_{n}$ 为数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 的前n项和，若 $S_{4} = 12$ ， $S_{8} = 40$ ，求 $T_{n}$ ．

查看试题解析
26. 已知数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 满足 $a_{n} b_{n + 1} - a_{n + 1} b_{n} - 2 a_{n} a_{n + 1} = 0 ， a_{n} > 0$ ，且 $a_{1} = b_{1} = 1$ ，设 $c_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n}}$ .

(1)、求数列 ${c_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{n + 1}^{2} = a_{n} a_{n + 2}$ ，且 $a_{2} = \frac{1}{2}$ ，设 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，判断并证明 ${S_{n}}$ 的单调性.

查看试题解析
27. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1$ ， $\frac{2 S_{n}}{n} = a_{n + 1} - 1$ ，

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $C_{n} = {\begin{array}{l} 2^{n} ， n 为奇数 \\ a_{n} + 4 ， n 为偶数 \end{array}$ ，求数列 ${C_{n}}$ 的前2n项和 $T_{2 n}$ ．

查看试题解析
28. 已知等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，{a_n}的前n项和为S_n ， a₂S₂=40.

(1)、求a_n

(2)、求 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{n}}$

查看试题解析
29. 已知S_n为等差数列{a_n}的前n项和，a₁=8，S₁₀=-10.

(1)、求a_n ， S_n；

(2)、设 $T_{n} = | a_{1} | + | a_{2} | + \dots + | a_{n} |$ ，求T_n.

查看试题解析
30. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 2} - S_{n + 1} = a_{n} - S_{n - 1} (n \geq 2)$ ．记 $b_{n} = l o g_{2} a_{2 (n + 1)}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{b_{n}}{a_{n}}}$ 前n项和 $T_{n}$ ，求使得不等式 $T_{n} > 9$ 成立的n的最小值.

查看试题解析
31. 设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{n} \neq 0$ ， $a_{1} = 1$ ，当 $n \geq 2$ 时， $S_{n - 1} = a_{n}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = a_{n + 1} + 2 n$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

查看试题解析
32. 设数列{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n ，且a₃=2，S₉=54.

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、证明： $\sqrt{\frac{1}{a_{1} + 3}} + \sqrt{\frac{1}{a_{2} + 3}} + \sqrt{\frac{1}{a_{3} + 3}} + \dots + \sqrt{\frac{1}{a_{100} + 3}} > 13$

查看试题解析
33. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 是公比为2的等比数列，且 $a_{2} - b_{2} = a_{3} - b_{3} = b_{4} - a_{4}$ ．

(1)、证明： $a_{1} = b_{1}$ ；

(2)、求集合 ${k | b_{k} = a_{m} + a_{1} ， 1 \leq m \leq 500}$ 中元素个数．

查看试题解析
34. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} + 1 = 3 a_{n} (n \in N^{*})$ .

(1)、求 $S_{n}$ ；

(2)、证明：当 $n \geq 2$ 时， $2 S_{n} + \frac{3}{a_{n}} \geq 9$ .

查看试题解析