山西省临汾市2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2023-02-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列四个实数中，是无理数的是（）

A、 $- 2$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $3.1415926$

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2. 下列运算结果正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{5} = a^{10}$ B、 ${(- 2 a^{2})}^{3} = - 8 a^{6}$ C、 $24 a^{3} b^{2} \div 3 a b^{2} = 8 a^{2} b$ D、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点P为 $△ A B C$ 内一点，连接 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ ， $∠ A P B ≠ ∠ A P C$ ，求证： $P B ≠ P C$ ，用反证法证明时，第一步应假设（）

A、 $A B \neq A C$ B、 $P B = P C$ C、 $∠ A P B = ∠ A P C$ D、 $∠ P B C \neq ∠ P C B$

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4. 如下是某地区2022年12月12～21日每天最高气温的统计表：
日期
12月12日
12月13日
12月14日
12月15日
12月16日
最高气温
$2 ℃$
$- 3 ℃$
$3 ℃$
$3 ℃$
$- 3 ℃$
日期
12月17日
12月18日
12月19日
12月20日
12月21日
最高气温
$- 4 ℃$
$1 ℃$
$2 ℃$
$3 ℃$
$2 ℃$
在这 $10$ 天中，最高气温为 $3 ℃$ 出现的频率是（）

A、 $20 %$ B、 $50 %$ C、 $40 %$ D、 $30 %$

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5. 如图，阴影部分是在一个边长为 $a$ 的大正方形中剪去一个边长为 $b$ 的小正方形后得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形.给出下列四种割拼方法，每种割拼方法都能够验证平方差公式，其中用到的数学思想是（）

A、数形结合思想 B、分类思想 C、公理化思想 D、函数思想

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6. 2022年2月28日，国家统计局发布《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》（简称《公报》）．如图所示是《公报》中显示的“2017－2021年社会消费品零售总额及其增长速度”的统计图，根据统计图得出如下结论，其中正确的是（）

A、2017－2021年期间社会消费品零售总额逐年增长 B、2017－2021年期间社会消费品零售总额先减后增 C、2017－2021年期间2017年社会消费品零售总额比上年增长率最低 D、2017－2021年期间2021年社会消费品零售总额比上年增长率最高

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7. 若 $(x + a) (x - 5) = x^{2} + b x - 10$ ，则 $a b - a + b$ 的值是（）

A、 $- 11$ B、 $- 7$ C、 $- 6$ D、 $- 55$

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8. 小华同学周末在家做家务，不慎把家里的一块三角形玻璃打碎成如图所示的四块，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，可以选择的方法是（）

A、带①②去 B、带②③去 C、带③④去 D、带②④去

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9. 已知在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对边分别记为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列条件不能判定 $△ A B C$ 为直角三角形的是（）

A、 $∠ B = ∠ C - ∠ A$ B、 $a ： b ： c = 3 ： 4 ： 5$ C、 $c^{2} + b^{2} = a^{2}$ D、 $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 5 ： 12 ： 13$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C$ 的平分线交 $B C$ 于点D，过点D分别作 $D E ⊥ A C$ ， $D F ⊥ A B$ ，垂足分别为E，F，连接 $E F$ ．有下列四个结论：① $∠ A E F = ∠ A F E$ ；② $A D$ 垂直平分 $E F$ ；③ $S_{△ B F D} ： S_{△ C E D} = B F ： C E$ ；④ $E F ∥ B C$ ．其中一定正确的是（）

A、①②③ B、①③④ C、①②④ D、②③④

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二、填空题

11. 若a+b＝3，ab＝2，则a²+b²＝．

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12. 命题“等腰三角形的两个底角相等．”的逆命题是．

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13. 喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个正整数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如1，4，9这三个数， $\sqrt{1 \times 4} = 2$ ， $\sqrt{1 \times 9} = 3$ ， $\sqrt{4 \times 9} = 6$ ，其结果都是整数，所以1，4.9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．若2，8，18三个数是“和谐组合”，则其中最小算术平方根与最大算术平方根的和是．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = ∠ C$ ， D，E，F分别是边 $B C$ ， $A C$ ， $A B$ 上的点，且 $B F = C D$ ， $B D = C E$ ．若 $∠ A = 104 °$ ，则 $∠ E D F$ 的度数为°．

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15. 如图，有一张长方形片ABCD ， $A B = 8 cm$ ， $B C = 10 cm$ ．点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边 $B^{'} C^{'}$ 恰好经过点D，则线段DE的长为cm．

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三、解答题

16.

(1)、分解因式： $4 a^{2} + 12 a b + 9 b^{2}$ ：

(2)、先化简，再求值： $(3 a b^{3} - 6 a^{2} b^{2}) \div 3 a b + (2 a + b) (2 a - b)$ ，其中 $a = 2$ ， $b = 1$ ．

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17. 如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．

(1)、线段AB的长度是，线段CD的长度是．

(2)、若EF的长为 $\sqrt{5}$ ，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．

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18. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形，D是AC边的中点，延长BC至点E，使 $C E = C D$ ．

(1)、利用尺规作 $∠ B D E$ 的平分线 $D M$ ，交 $B E$ 于点M．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）

(2)、求 $∠ C D M$ 的度数．

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19. 材料：常见的分解因式的方法有提公因式法和公式法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫做分组分解法．如 $x^{2} + 2 x y + y^{2} - 16$ ，我们仔细观察这个式子会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为 $x^{2} + 2 x y + y^{2} - 16 = {(x + y)}^{2} - 4^{2} = (x + y + 4) (x + y - 4)$ ．它并不是一种独立的分解因式的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．
解答下列问题：

(1)、分解因式： $2 a^{2} - 8 a + 8$ ；

(2)、请尝试用上面材料中的方法分解因式 $x^{2} - y^{2} + 3 x - 3 y$ ．

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20. 国际足联世界杯（FIFA World Cup），简称“世界杯”，是由全世界国家级别球队参与，象征足球界最高荣誉，并具有最高知名度和最大影响力的足球赛事．世界杯每四年举办一次，任何国际足联会员国（地区）都可以派出代表队报名参加这项赛事．第22届世界杯足球赛在卡塔尔举行，为了解同学们对卡塔尔世界杯的了解情况，某数学兴趣小组利用课余时间在全校抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果分为四个等级（A．不了解；B．了解较少；C．了解较多；D．十分了解）进行统计，并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)、求被调查的学生总人数．

(2)、补全条形统计图与扇形统计图．

(3)、在扇形统计图中，表示“C”所在的扇形圆心角的度数为°．

(4)、从以上统计图中你能得出什么结论？说说你的想法．（写出一条即可）

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21. 如图，某火车站内部墙面 $M N$ 上有破损处（看作点A），现维修师傅需借助梯子 $D E$ 完成维修工作．梯子的长度为 $5 m$ ，将其斜靠在这面墙上，测得梯子底部E离墙角N处 $3 m$ ，维修师傅爬到梯子顶部使用仪器测量，此时梯子顶部D距离墙面破损处 $1 m$ ．

(1)、该火车站墙面破损处A距离地面有多高？

(2)、如果维修师傅要使梯子顶部到地面的距离为4.8m．那么梯子底部需要向墙角方向移动多少米？

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22. 综合与实践

在等腰三角形纸片 $A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 36 °$ ．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．下面是小文借助尺规解决这一问题的过程，请阅读后完成相应的任务．

作法：如图1．

①分别作 $A B$ ， $A C$ 的垂直平分线，交于点P；

②连接 $P A$ ， $P B$ ， $P C$

结论：沿线段 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ 剪开，即可得到三个等腰三角形

理由：∵点P在线段 $A B$ 的垂直平分线上，

∴____．（依据）

同理，得 $P A = P C$

∴ $P A = P B = P C$

∴ $△ P A B$ ， $△ P B C$ ， $△ P A C$ 都是等腰三角形．

任务：

(1)、上述过程中，横线上的结论为，括号中的依据为．

(2)、受小文的启发，同学们想到另一种思路：如图2，以点B为圆心，

B C

长为半径作弧，交

A C

于点D，交

A B

于点E．在此基础上构造两条线段（以图中标有字母的点为端点）作为裁剪线，也可解决问题．请在图2中画出一种裁剪方案，并求出得到的三个等腰三角形及相应顶角的度数．

(3)、如图3，在等腰三角形纸片

A B C

中，

A B = A C

，

∠ B A C = 108 °

．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成三个等腰三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）

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23. 在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB=AC，且满足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α.

(1)、如图1，当α=90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是；

(2)、如图2，当0°＜α＜180°时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)、拓展与应用：如图3，当α=120°时，点F为∠BAC平分线上的一点，且AB=AF，分别连接FB，FD，FE，FC，试判断△DEF的形状，并说明理由.

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日期	12月12日	12月13日	12月14日	12月15日	12月16日
最高气温	$2 ℃$	$- 3 ℃$	$3 ℃$	$3 ℃$	$- 3 ℃$
日期	12月17日	12月18日	12月19日	12月20日	12月21日
最高气温	$- 4 ℃$	$1 ℃$	$2 ℃$	$3 ℃$	$2 ℃$