北京市西城区2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2023-02-09 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 以下是用电脑字体库中的一种篆体写出的“诚信友善”四字，若把它们抽象为几何图形，从整体观察（个别细微之处的细节可以忽略不计），其中大致是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
2. 地处北京怀柔科学城的“北京光源”（ $H E P S$ ）是我国第一台高能同步辐射光源，在施工时严格执行“防微振动控制”的要求，控制精度级别达到纳米（nm）级.1nm $= 0.000000001$ m．将 $0.000000001$ 用科学记数法表示应为（）

A、 $1 \times 1 0^{- 8}$ B、 $1 \times 1 0^{- 9}$ C、 $10 \times 1 0^{- 10}$ D、 $0.1 \times 1 0^{- 8}$

查看试题解析
3. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a = a^{2}$ B、 $(a^{3})^{2} = a^{5}$ C、 $(a b)^{5} = a^{5} b^{5}$ D、 $(- 3 a)^{3} = - 9 a^{3}$

查看试题解析
4. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A、5，5，5 B、5，5，10 C、5，6，12 D、3，4，7

查看试题解析
5. 如图， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $A B ∥ C D$ ， $A B = A C = A E = C D$ ．有下列结论：
①把 $△ A B C$ 沿直线 $A C$ 翻折180°，可得到 $△ A E C$ ；
②把 $△ A D C$ 沿线段 $A C$ 的垂直平分线翻折180°，可得到 $△ A E C$ ；
③把 $△ A D C$ 沿射线DC方向平移与 $D C$ 相等的长度，可得到 $△ A B C$ ．
其中所有符合题意结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

查看试题解析
6. 下列各式从左到右的变形正确的是（）

A、 $\frac{a^{6}}{a^{3} b} = \frac{a^{2}}{b}$ B、 $\frac{a + 3 c}{a} = 3 c$ C、 $\frac{a - 3}{a^{2} - 9} = \frac{1}{a - 3}$ D、 $\frac{a^{2} - 9}{a^{2} - 6 a + 9} = \frac{a + 3}{a - 3}$

查看试题解析
7. 图1所示的是一把木工台锯时使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图2的六角尺示意图中，x的值为（）

A、 $135 °$ B、 $120 °$ C、 $112.5 °$ D、 $112 °$

查看试题解析
8. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B$ 的度数为α．点P在边 $B C$ 上（点P不与点B，点C重合），作 $P D ⊥ A B$ 于点D，连接 $P A$ ，取 $P A$ 上一点E，使得 $E C = E P$ ，连接 $E D$ ， $C E$ 并延长 $C E$ 交 $A B$ 于点F之后，有 $E C = E D = E A = E P$ ．若记 $∠ A P C$ 的度数为x，则下列关于 $∠ D E F$ 的表达式正确的是（）

A、 $∠ D E F = 2 x - 3 α$ B、 $∠ D E F = 2 α$ C、 $∠ D E F = 2 α - x$ D、 $∠ D E F = 180 - 3 α$

查看试题解析

二、填空题

9. 计算：

(1)、 $3^{- 2}$ =；

(2)、 $(- 6)^{0} =$ ．

查看试题解析
10. 若分式 $\frac{1}{x - 5}$ 有意义，则字母x满足的条件是．

查看试题解析
11. 分解因式： $3 m^{3} - 12 m =$ ．

查看试题解析
12. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (4 ， 3)$ 关于x轴对称的点的坐标为．

查看试题解析
13. 小王读到关于京唐城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相关信息制作了下表，表中两个区间段（线路的一部分）运行时相应所用的时间 $t_{1}$ 比 $t_{2}$ 约少 $0.09 h$ ，那么可列出关于v的方程为．
区间段
区间近似里程 $(k m)$
区间设计最高时速 $(k m / h)$
相应所用时间 $(h)$
北京城市副中心站−香河站
47.8
$\frac{6}{7} v$
t₁
香河站−唐山西站
87
v
t₂

查看试题解析
14. 三个长方形纸片如图1所示无缝隙地拼接在一起，它们的边长分别标记在图1中．现将拼接后的纸片用图2所示方式重新分割成三个长方形A，B，C．根据图2与图1的关系写出一个等式：（用含a，b，c，d，e，f的式子表示）．

查看试题解析
15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C ， ∠ A C B = 50 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于点D， $M C ⊥ B C$ 于点C， $M C = B C$ ．点E，点F分别在线段 $A D ， A C$ 上， $C F = A E$ ，连接 $M F ， B F ， C E$ ．

(1)、图中与 $M F$ 相等的线段是；

(2)、当 $B F + C E$ 取最小值时 $∠ A F B =$ °

查看试题解析

三、解答题

16. 如图，在四边形 $A B D C$ 中， $∠ A B D = 60 ° ， ∠ D = 90 °$ ， $B C$ 平分 $∠ A B D$ ， $A B = 3 ， B C = 4$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 的高 $C E$ ；

(2)、 $△ A B C$ 的面积等于．

查看试题解析
17. 计算：

(1)、 $4 x \cdot (- 2 x^{2} y)$ ；

(2)、 $(3 x - 1) (x + 2)$ ；

(3)、 $(16 a^{2} b c - 12 a^{3}) \div 4 a^{2}$

查看试题解析
18. 已知 $a = - \frac{1}{2}$ ，求代数式 $(a + \frac{2 a + 1}{a}) \div \frac{a + 1}{a^{2}}$ 的值．

查看试题解析
19. 解方程： $\frac{2}{x} + 1 = \frac{x}{x - 1}$

查看试题解析
20. 如图，A，D两点在 $B C$ 所在直线同侧， $A B ⊥ A C ， B D ⊥ C D$ ，垂足分别为A，D． $A C ， B D$ 的交点为E， $A B = D C$ ．求证： $B E = C E$ ．

查看试题解析
21. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $△ A B C$ ， $A (2 ， 6)$ ， $B (5 ， 1)$ ， $C (3 ， 1)$ ．点B与点C关于直线l对称，直线l与 $B C ， A C$ 的交点分别为点D，E．

(1)、求点A到 $B C$ 的距离；

(2)、连接 $B E$ ，补全图形并求 $△ A B E$ 的面积；

(3)、若位于x轴上方的点P在直线l上， $∠ B P C = 90 °$ ，直接写出点P的坐标．

查看试题解析
22.

(1)、设计作平行线的尺规作图方案：已知：直线 $A B$ 及直线 $A B$ 外一点P．求作：经过点P的直线 $C D$ ，使得 $C D ∥ A B$ ．

分析：如图1所示，之前我们学过“推”三角尺画平行线，这种画法的实物操作图可以启发我们预设目标示意图，分析尺规作图思路．

①请参考以上内容完成尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法；

②在①中用到的判定 $C D ∥ A B$ 的依据是．

(2)、已知：如图，在 $△ A B D$ 中， $∠ B A D = 90 °$ ， $A B = A D$ ．
求作：凸四边形 $A B C D$ ，使得 $B C = A B$ ，且 $△ A C D$ 为等腰三角形．

请完成尺规作图并写出所求作的四边形，保留作图痕迹，不必写作法．

查看试题解析
23. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C (A B < B C)$ ，在 $B C$ 上截取 $B D = A B$ ，连接 $A D$ ．在 $△ A B C$ 的外部作 $∠ A B E = ∠ D A C$ ，且 $B E$ 交 $D A$ 的延长线于点E．

(1)、作图与探究：
①小明画出图1并猜想 $A E = A C$ ．同学小亮说“要让你这个结论成立，需要增加条件： $∠ A B C =$ ▲ °．”
请写出小亮所说的条件；
②小明重新画出图2并猜想 $△ A B E ≌ △ D A C$ ．他证明的简要过程如下：
请你判断小明的证明是否正确并说明理由；

(2)、证明与拓展：
①借助小明画出的图2证明 $B E = D E$ ；
②延长 $A D$ 到F，使 $D F = A E$ ，连结 $B F ， C F$ ．补全图形，猜想 $∠ B F E$ 与 $∠ A F C$ 的数量关系并加以证明．

查看试题解析
24. 在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸多边形的顶点都是网格线交点，我们称其为格点凸多边形，并记该格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，多边形边上的格点数为L．

(1)、对于图中的五个凸多边形，补全以下表格：
多边形
面积S
内部格点数N
边上格点数L
$N + \frac{L}{2}$
Ⅰ
Ⅱ
7
4
8
8
Ⅲ
Ⅳ
9
5
10
10
Ⅴ
$15.5$
11
11
$16.5$

(2)、借助以上表格猜想格点凸多边形的面积公式：S与 $N + \frac{L}{2}$ 的数量关系可用等式表示为；

(3)、已知格点长方形ABCD，设其边长 $A B = m ， B C = n$ ，其中m，n为正整数．请以格点长方形 $A B C D$ 为例，尝试证明（2）中的格点凸多边形的面积公式．

查看试题解析
25. 阅读两位同学的探究交流活动过程：
a．小明在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明．
$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 3}$ ①
b．小明尝试写出了符合这个特征的其他几个等式：
$\frac{x + 3}{x + 4} - \frac{x + 2}{x + 3} = \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x + 4}$ ②
$\frac{x + 4}{x + 5} - \frac{x + 3}{x + 4} = \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x + 5}$ ③
$\frac{x + 5}{x + 6} - \frac{x + 4}{x + 5} = \frac{1}{x + 5} - \frac{1}{x + 6}$ ④
c．小明邀请同学小亮根据上述规律写出第⑤个等式和第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）；
d．小亮对第n个等式进行了证明．
解答下列问题：

(1)、第⑤个等式是；

(2)、第n个等式是；

(3)、请你证明第n个等式成立．

查看试题解析
26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于点P，点M给出如下定义：如果点P与原点O的距离为a，点M与点P的距离是a的k倍（k为整数），那么称点M为点P的“k倍关联点”．

(1)、当 $P_{1} (1.5 ， 0)$ 时，
①如果点 $P_{1}$ 的2倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标为；
②如果点 $M (x ， y)$ 是点 $P_{1}$ 的k倍关联点，且满足 $x = - 1.5$ ， $3 \leq y \leq 5$ ，那么整数k的最大值为；

(2)、已知在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ A C B = 30 °$ ， $A (b ， 0)$ ， $B (b + 1 ， 0)$ ．若 $P_{2} (- 1 ， 0)$ ，且在 $△ A B C$ 的边上存在点 $P_{2}$ 的2倍关联点Q，求b的取值范围．

查看试题解析

区间段	区间近似里程 $(k m)$	区间设计最高时速 $(k m / h)$	相应所用时间 $(h)$
北京城市副中心站−香河站	47.8	$\frac{6}{7} v$	t₁
香河站−唐山西站	87	v	t₂

多边形	面积S	内部格点数N	边上格点数L	$N + \frac{L}{2}$
Ⅰ
Ⅱ	7	4	8	8
Ⅲ
Ⅳ	9	5	10	10
Ⅴ	$15.5$	11	11	$16.5$