山东省泰安市新泰市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-02-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 给出下列函数关系式：① $y = - \frac{1}{2} x$ ；② $y = \frac{5}{2 x}$ ；③ $y = \frac{1 - \sqrt{2}}{3 x}$ ；④ $y = \frac{1}{x} + 2$ ；⑤2xy＝1；⑥－xy＝2．其中，表示y是x的反比例函数的个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2. 如图，在Rt $△ A B C$ 中，CD是斜边AB上的高， $∠ A \neq 45 °$ ，则下列比值中不等于 $s i n A$ 的是（）

A、 $\frac{C D}{A C}$ B、 $\frac{B D}{C B}$ C、 $\frac{C B}{A B}$ D、 $\frac{C D}{C B}$

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3. 已知反比例函数y=﹣ $\frac{8}{x}$ ，下列结论：①图象必经过（﹣2，4）；②图象在二，四象限内；③y随x的增大而增大；④当x＞﹣1时，则y＞8．其中错误的结论有（）个

A、3 B、2 C、1 D、0

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4. 关于二次函数 $y = 2 x^{2} + 4 x - 1$ ，下列说法正确的是（）

A、图像与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0 ， 1)$ B、图像的对称轴在 $y$ 轴的右侧 C、当 $x < 0$ 时， $y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小 D、 $y$ 的最小值为-3

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5. 已知反比例函数 $y = \frac{b}{x}$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = c x + a$ 和二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 在同一直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，点 $A ， B ， C ， D ， E$ 在 $⊙ O$ 上， $A B = C D ， ∠ A O B = 42 °$ ，则 $∠ C E D =$ （）

A、 $48 °$ B、 $24 °$ C、 $22 °$ D、 $21 °$

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7. 如图.随机闭合开关K₁、K₂、K₃中的两个，则能让两盏灯泡L₁、L₂同时发光的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则 $\sin ∠ A D C$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ B、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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9. 如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y $= \frac{k}{x}$ 相交于点D ，且OD：OB＝2：3，则k的值为（）

A、12 B、﹣12 C、16 D、﹣16

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10. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，将△ABC折叠，使点A落在边BC上的D处，EF为折痕．若AE＝6，则sin∠BFD的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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11. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ ， $D$ 是 $⊙ O$ 上的两点，且 $B C$ 平分 $∠ A B D$ ， $A D$ 分别与 $B C$ ， $O C$ 相交于点 $E$ ， $F$ ，则下列结论不一定成立的是（）

A、 $O C ∥ B D$ B、 $A D ⊥ O C$ C、 $Δ C E F ≅ Δ B E D$ D、 $A F = F D$

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12. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴是 $x = 1$ ．下列结论：① $a b c > 0$ ；② $b^{2} - 4 a c > 0$ ；③ $8 a + c < 0$ ；④ $5 a + b + 2 c > 0$ ，正确的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题

13. 某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦•青春梦”演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是．

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14. 如图为某几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的侧面积等于 cm² ．

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15. 如图， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 为一个正多边形的顶点， $O$ 为正多边形的中心，若 $∠ A D B = 18 °$ ，则这个正多边形的边数为.

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16. 如图，矩形 $A B C D$ 的边 $A B$ 在 $x$ 轴上，点 $C$ 在反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象上，点 $D$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，若 $\sin ∠ C A B = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\cos ∠ O C B = \frac{4}{5}$ ，则 $k =$ .

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $B D$ 是对角线， $A E ⊥ B D$ ，垂足为E ，连接 $C E$ ．若 $∠ A D B = 30 °$ ，则如 $\tan ∠ D E C$ 的值为．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $C (3 ， 4)$ ，以点 $C$ 为圆心的圆与 $y$ 轴相切．点 $A$ 、 $B$ 在 $x$ 轴上，且 $O A = O B$ ．点 $P$ 为 $⊙ C$ 上的动点，∠APB=90°，则 $A B$ 长度的最大值为．

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三、解答题

19. 计算： $\frac{t a n 30 ° \cdot s i n 30 °}{t a n 45 ° \cdot c o t 60 °} + \sqrt{2} \cdot s i n 45 ° - \frac{1}{2} c o s 60 °$ ．

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20. 4张相同的卡片上分别写有数字0、1、-2、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张．将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．

(1)、第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为；

(2)、小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜：否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表等方法说明理由）．

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21. 如图，一次函数 $y = k_{1} x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象相交于A、 $B$ 两点，其中点A的坐标为 $(- 2 ， 3)$ ，点 $B$ 的横坐标为6．

(1)、求这两个函数的表达式；

(2)、根据图象，直接写出满足 $k_{1} x + b - \frac{k_{2}}{x} > 0$ 的 $x$ 的取值范围；

(3)、连接 $O A$ ， $O B$ ，点 $P$ 在直线 $A B$ 上，且 $S_{△ A O P} = \frac{1}{4} S_{△ B O P}$ ，求点 $P$ 的坐标．

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22. 某种落地灯如图1所示， $A B$ 为立杆，其高为 $84 cm$ ； $B C$ 为支杆，它可绕点 $B$ 旋转，其中 $B C$ 长为 $54 cm$ ； $D E$ 为悬杆，滑动悬杆可调节 $C D$ 的长度.支杆 $B C$ 与悬杆 $D E$ 之间的夹角 $∠ B C D$ 为 $60 °$ .

(1)、如图2，当支杆 $B C$ 与地面垂直，且 $C D$ 的长为 $50 cm$ 时，求灯泡悬挂点 $D$ 距离地面的高度；

(2)、在图2所示的状态下，将支杆 $B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $20 °$ ，同时调节 $C D$ 的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点 $D$ 到地面的距离为 $90 cm$ ，求 $C D$ 的长.（结果精确到 $1 cm$ ，参考数据： $\sin 20 ° \approx 0.34$ ， $\cos 20 ° \approx 0.94$ ， $\tan 20 ° \approx 0.36$ ， $\sin 40 ° \approx 0.64$ ， $\cos 40 ° \approx 0.77$ ， $\tan 40 ° \approx 0.84$ ）

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23. 某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元.销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件.同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元.设销售单价为x元，平均月销售量为y件.

(1)、求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

(2)、当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？

(3)、当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？

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24. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以AB为直径的 $⊙ O$ 分别交AC、BC于点D、E ，点F在AC的延长线上，且 $∠ B A C = 2 ∠ C B F$ ．

(1)、求证：BF是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的直径为4， $C F = 6$ ，求 $\tan ∠ C B F$ ．

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25. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 与x轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过 $A ， B$ 两点且与x轴的负半轴交于点 $C$ .

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、若点 $D$ 为直线 $A B$ 上方抛物线上的一个动点，当 $∠ A B D ＝ 2 ∠ B A C$ 时，求点 $D$ 的坐标；

(3)、已知 $E ， F$ 分别是直线 $A B$ 和抛物线上的动点，当 $B ， O ， E ， F$ 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的 $E$ 点的坐标.

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