山东省济南市长清区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2023-02-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. sin30°的值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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2. 如图中几何体的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如果 $2 a = 5 b$ ，那么下列比例式中正确的是（）

A、 $\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$ B、 $\frac{a}{5} = \frac{2}{b}$ C、 $\frac{a}{5} = \frac{b}{2}$ D、 $\frac{a}{2} = \frac{b}{5}$

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4. 下列的各点中，在反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 图象上的点是（）

A、 $(2 ， 4)$ B、 $(1 ， 5)$ C、 $(\frac{1}{2} ， 2)$ D、 $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{3})$

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5. 关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 有两个相等的实数根，则 $k =$ （）

A、-2 B、-1 C、0 D、1

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6. 若点 $(- 1 ， y_{1})$ ， $(1 ， y_{2})$ ， $(2 ， y_{3})$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ $(k < 0)$ 的图象上，则下列结论中正确的是（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ C、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$ D、 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$

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7. 如图，在 $6 \times 4$ 网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若 $△ A B C$ 的顶点均是格点，则 $s i n ∠ A B C$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8. 一次函数 $y = c x - a$ （ $c \neq 0$ ）和二次函数 $y = a x^{2} + x + c$ （ $a \neq 0$ ）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，连接 $B D$ ，分别以 $B$ 、 $D$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} B D$ 的长为半径画弧，两弧交于 $P$ 、 $Q$ 两点，作直线 $P Q$ ，分别与 $A D$ 、 $B C$ 交于点 $M$ 、 $N$ ，连接 $B M$ 、 $D N$ ．若 $A B = 3$ ， $B C = 6$ ，则四边形 $M B N D$ 的周长为（）

A、15 B、9 C、 $\frac{15}{4}$ D、 $\frac{9}{4}$

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10. 如图，已知开口向上的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $(- 1 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ．下列结论：① $a b c > 0$ ；② $2 a + b = 0$ ；③若关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c + 1 = 0$ 一定有两个不相等的实数根；④ $a > \frac{1}{3}$ .其中正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 如图，四边形 $A B C D ∽$ 四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，若 $∠ B = 55 °$ ， $∠ C = 80 °$ ， $∠ A^{'} = 110 °$ ，则 $∠ D =$ °．

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12. 在一个不透明的袋子里装有若干个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则估计袋子中红球的个数是个．

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13. 如图，若点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k \neq 0$ ）的图象上， $A M ⊥ x$ 轴于点 $M$ ， $△ A M O$ 的面积为8，k= ．

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14. 将抛物线 $y = 2 {(x - 1)}^{2} + 3$ 向右移3单位，上移2单位所得到的新抛物线解析式为．

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15. 定义一种运算： $s i n (α + β) = s i n α c o s β + c o s α s i n β$ ， $s i n (α - β) = s i n α c o s β - c o s α s i n β$ ．例如：当 $α = 60 °$ ， $β = 45 °$ 时， $s i n (60 ° - 45 °) = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ ，则 $s i n 75 °$ 的值为．

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16. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $M$ 、 $N$ 为边 $B C$ 和 $C D$ 上的动点（不含端点）， $∠ M A N = 45 °$ ，下列四个结论：①当 $M N = \sqrt{2} M C$ 时，则 $∠ B A M = 22.5 °$ ；② $∠ A M N + ∠ M N C = 90 °$ ；③ $△ M N C$ 的周长不变；④若 $D N = 2$ ， $B M = 3$ ，则 $△ A B M$ 的面积为15．其中正确结论的序号是．

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三、解答题

17. 计算： ${(π - 1)}^{0} - 2 s i n 60 ° + \sqrt{12} - | - 3 |$ ．

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18. 解方程： $x^{2} + 6 x - 7 = 0$ .

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19. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $C E ⊥ A B$ 交 $A B$ 于点E， $C F ⊥ A D$ 交 $A D$ 于点F．
求证： $A E = A F$ ．

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20. 如图， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ B = ∠ D$ ， $A E = 9$ ， $A D = 12$ ， $A B = 20$ ．求 $A C$ 的长度．

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21. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）： $A$ ．音乐； $B$ ．体育； $C$ ．美术； $D$ ．阅读； $E$ ．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：

(1)、①此次调查一共随机抽取了 ▲ 名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角 $a =$ ▲ 度；

(2)、若该校有2800名学生，估计该校参加 $D$ 组（阅读）的学生人数；

(3)、学校计划从 $E$ 组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．

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22. 为进一步加强疫情防控工作，长清区某学校决定安装红外线体温检测仪，对进入测温区域的人员进行快速测温（如图1），其红外线探测点 $O$ 可以在垂直于地面的支杆 $O P$ 上下调节（如图2），已知探测最大角（ $∠ O B C$ ）为 $61 °$ ，探测最小角（ $∠ O A C$ ）为 $37 °$ ．若该校要求测温区域的宽度 $A B$ 为 $1 ． 4$ 米，请你帮助学校确定该设备的安装高度 $O C$ ．
（参考数据： $s i n 61 ° \approx 0.87$ ， $c o s 61 ° \approx 0.48$ ， $t a n 61 ° \approx 1.8$ ， $s i n 37 ° \approx 0.6$ ， $c o s 37 ° \approx 0.8$ $t a n 37 ° ° \approx 0.75$ ）

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23. 某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个．现在采取提高商品定价减少销售量的办法增加利润，定价每增加1元，销售量净减少10个．

(1)、商店若将准备获利2000元，则定价应增加多少元？

(2)、若商店要获得最大利润，则定价应增加多少元？最大利润是多少？

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24. 如图，一次函数 $y = x - 1$ 的图像与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图像交于点 $B (3 ， a)$ ，与 $x$ 轴交于点 $A$ ．点 $C$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图像上的一点， $C D ⊥ x$ 轴，垂足为 $D$ ， $C D$ 与 $A B$ 交于点 $E$ ， $O A = A D$ ．

(1)、求 $a$ ， $k$ 的值；

(2)、若点 $P$ 为 $x$ 轴上的一点，求当 $P B + P C$ 最小时，点 $P$ 的坐标；

(3)、 $F$ 是平面内一点，是否存在点 $F$ 使得以 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $F$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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25. 【发现问题】

(1)、如图1，已知 $△ C A B$ 和 $△ C D E$ 均为等边三角形， $D$ 在 $A C$ 上， $E$ 在 $C B$ 上，易得线段 $A D$ 和 $B E$ 的数量关系是．

(2)、将图1中的 $△ C D E$ 绕点 $C$ 旋转到图2的位置，直线 $A D$ 和直线 $B E$ 交于点 $F$ ．
①判断线段 $A D$ 和 $B E$ 的数量关系，并证明你的结论；
②图2中 $∠ A F B$ 的度数是 ▲ ．

(3)、【探究拓展】如图3，若 $△ C A B$ 和 $△ C D E$ 均为等腰直角三角形， $∠ A B C = ∠ D E C = 90 °$ ， $A B = B C$ ， $D E = E C$ ，直线 $A D$ 和直线 $B E$ 交于点 $F$ ，分别写出 $∠ A F B$ 的度数，线段 $A D$ 、 $B E$ 间的数量关系，并说明理由．

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26. 综合与探究：如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ （ $a \neq 0$ ）与 $x$ 轴交于点 $A (- 3 ， 0)$ 和点 $B (1 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求此抛物线的函数表达式；

(2)、若点 $D$ 是第三象限抛物线上一动点，连接 $A D$ ， $C D$ ， $A C$ ，求 $△ A C D$ 面积的最大值，并求出此时点 $D$ 的坐标；

(3)、若点 $E$ 在抛物线的对称轴上，线段 $E B$ 绕点 $E$ 逆时针旋转90°后，点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 恰好也落在此抛物线上，请直接写出点 $E$ 的坐标．

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