北京市平谷区2022―2023学年九年级上学期教学质量监控数学试卷

试卷更新日期：2023-02-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知2x=3y（xy≠0），那么下列比例式中成立的是（）

A、 $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$ B、 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$ C、 $\frac{x}{3} = \frac{y}{2}$ D、 $\frac{x}{2} = \frac{3}{y}$

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2. 如图， $△ A B C$ 中，D、E分别为 $A B$ 、 $A C$ 边上的点， $D E ∥ B C$ ，若 $A D = 2 B D$ ，则 $\frac{D E}{B C}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{2}{1}$ D、 $\frac{2}{3}$

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3. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）

A、 $y = 2 {(x + 1)}^{2} + 3$ B、 $y = 2 {(x + 1)}^{2} - 3$ C、 $y = 2 {(x - 1)}^{2} - 3$ D、 $y = 2 {(x - 1)}^{2} + 3$

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4. 如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则 $s i n B$ 的值是（）

A、1 B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 如图，若点A是反比例函数 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 的图象上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，点C是y轴上任意一点，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 如图， $▱ A B C D$ 中，点E为 $A D$ 中点，若 $△ A E O$ 的面积为1，则 $△ B O C$ 的面积为（）

A、2 B、3 C、4 D、8

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7. “今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”这是《九章算术》中的一个问题，用现代的语言表述为：如图， $C D$ 为 $⊙ O$ 的直径，弦 $A B ⊥ C D$ 于E， $C E = 1$ 寸，弦 $A B = 10$ 寸，则 $⊙ O$ 的半径为多少寸（）

A、5 B、12 C、13 D、26

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8. 如果I表示汽车经撞击之后的损坏程度，经多次实验研究后知道，I与撞击时的速度v的平方之比是常数2，则I与v的函数关系为（）

A、正比例函数关系 B、反比例函数关系 C、一次函数关系 D、二次函数关系

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二、填空题

9. 函数 $y = \sqrt{x - 3}$ 中，自变量x的取值范围是．

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10. 已知扇形的圆心角为 $120 °$ ，半径为3，则它的弧长为．

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11. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{∘}$ ，如果 $c o s A = \frac{2}{3}$ ， $A B = 6$ ，那么 $A C$ 的长为．

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12. 如图，在 $⊙ O$ 中，A，B，C是 $⊙$ O上三点，如果 $∠ A C B = 3 0^{∘}$ ，弦 $A B = 5$ ，那么 $⊙ O$ 的半径长为．

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13. 已知二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0的解为．

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14. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 9 0^{∘}$ ， $A D ⊥ B C$ 于D， $B D = 1$ ， $C D = 4$ ，则 $A D$ 的长为．

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15. 青藏铁路是当今世界上海拔最高、线路最长的高原铁路，因路况、季节、天气等原因行车的平均速度在 $250 ~ 360$ （千米/小时）之间变化，铁路运行全程所需要的时间（小时）与运行的平均速度（千米/小时）满足如图所示的函数关系，列车运行的平均速度最大和列车运行的平均速度最小时全程所用时间相差小时．

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16. 张老师准备为书法兴趣小组的同学购买上课的用具，在文具商店看到商店有A、B两种组合和C、D、E、F商品及它们的售价，组合及单件商品质量一样，若该小组共有12人，其中，笔和本每人各需要一份，砚台2人一方即可，墨汁n瓶（

n \geq 3

）．张老师共带了200元钱，请给出一个满足条件的购买方案（购买数量写前面商品代码写后面即可，例如：2A+3B+...；n最多买瓶．

商品	价格
组合A（1支笔＋1个本＋1方砚台＋1瓶墨汁）	25元
组合B（1支笔＋1个本＋1瓶墨汁）	18元
C：1支笔	5元
D：1个本	4元
E：一方砚台	10元
F：一瓶墨汁	12元

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三、解答题

17. 计算： $| - \sqrt{3} | + {(\frac{1}{5})}^{- 1} - \sqrt{27} + 2 c o s 3 0^{∘}$ ．

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18. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中，D为 $A B$ 边的中点，连接 $C D$ ， $∠ A C D = ∠ B$ ， $A B = 4$ ，求 $A C$ 的长．

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19. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ ．

(1)、求该二次函数的顶点坐标；

(2)、求该二次函数图象与x轴、y轴的交点；

(3)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，画出二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 的图象；

(4)、结合函数图象，直接写出当 $- 1 \leq x \leq 2$ 时，y的取值范围．

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20. 如图，已知劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ ，如何等分 $\overset{⌢}{A B}$ ？下面给出两种作图方法，选择其中一种方法，利用直尺和圆规完成作图，并补全证明过程．
方法一：①作射线 $O A$ 、 $O B$ ；
②作 $∠ A O B$ 的平分线 $O D$ ，与 $\overset{⌢}{A B}$ 交于点C；
点C即为所求作．
证明：∵ $O C$ 平分 $∠ A O B$ ，
∴ $∠ A O C = ∠ B O C$
∴ ▲ （）（填推理的依据）．
方法二：①连接 $A B$ ；
②作线段 $A B$ 的垂直平分线 $E F$ ，直线 $E F$ 与 $\overset{⌢}{A B}$ 交于点C；
点C即为所求作．
证明：∵ $E F$ 垂直平分弦 $A B$ ，
∴直线 $E F$ 经过圆心O，
∴ ▲ （）（填推理的依据）．

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21. 某班同学们来到操场，想利用所学知识测量旗杆的高度．方法如下：如图，线段 $A B$ 表示旗杆，已知A，C，D三点在一条直线上，首先用 $1.5$ 米高的测角仪在点C处测得旗杆顶端B的仰角为 $6 5^{∘}$ ，在点D处测得旗杆顶端B的仰角为 $4 5^{∘}$ ，其中，线段 $C E$ 和 $D F$ 均表示测角仪，然后测量出 $C D$ 的距离为 $5.5$ 米，连接 $E F$ 并延长交 $A B$ 于点G．根据这些数据，请计算旗杆 $A B$ 的长约为多少米． $(s i n 6 5^{∘} \approx 0.9 ， c o s 6 5^{∘} \approx 0.4 ， t a n 6 5^{∘} \approx 2.1)$

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22. 已知：一次函数 $y = k x - 2 (k \neq 0)$ ，与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0 ， x > 0)$ 的图象交与点 $A (2 ， 4)$ ．

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、已知点 $P (0 ， n)$ $(n > 0)$ 过点P作垂直于y轴的直线，与反比例函数的图象交于点B，与一次函数的图象交于点C，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若线段 $B C$ 、 $A C$ 与反比例函数图象上 $A B$ 之间的部分围成的图象中（不含边界）恰有3个整点，直接写出n的取值范围．

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23. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{∘}$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 边于点D， $D E ⊥ A B$ 于点E，若 $B D = 5$ ， $c o s B = \frac{4}{5}$ ，求 $A C$ 的长．

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24. 如图，已知锐角 $∠ A B C$ ，以 $A B$ 为直径画 $⊙ O$ ，交 $B C$ 边于点M， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 与 $⊙ O$ 交于点D，过点D作 $D E ⊥ B C$ 于点E．

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、连接 $O E$ 交 $B D$ 于点F，若 $∠ A B C = 6 0^{∘}$ ， $A B = 4$ ，求 $D F$ 长．

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25. 某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，若设距水枪水平距离为x米时水柱距离湖面高度为y米，y与x近似的满足函数关系 $y = a (x - h)^{2} + k (a < 0)$ ．现测量出x与y的几组数据如下：
x（米）
0
1
2
3
4
…
y（米）
1.75
3.0
3.75
4.0
3.75
…
请解决以下问题：

(1)、求出满足条件的函数关系式；

(2)、身高1.75米的小明与水柱在同一平面中，设他到水枪的水平距离为m米（ $m \neq 0$ ），画出图象，结合图象回答，若小明被水枪淋到m的取值范围．

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26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ ，设抛物线的对称轴为 $x = t$ ．

(1)、当抛物线过点 $(- 2 ， 0)$ 时，求t的值；

(2)、若点 $(- 2 ， m)$ 和 $(1 ， n)$ 在抛物线上，若 $m > n$ ，且 $a m n > 0$ ，求t的取值范围．

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27. 如图， $△ A B C$ 中，D为 $A C$ 边中点，E为 $B C$ 延长线上一点，连接 $E D$ 并延长，使 $D F = D E$ ，连接 $B F$ ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、连接 $B D$ ，若 $C E^{2} + B F^{2} = A B^{2}$ ，猜想 $B D$ 与 $D E$ 的数量关系，并证明．

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28. 如图，平面直角坐标系中，矩形 $A B C D$ ，其中 $A (1 ， 0)$ 、 $B (4 ， 0)$ 、 $C (4 ， 2)$ 、 $D (1 ， 2)$ 定义如下：若点P关于直线l的对称点 $P^{'}$ 在矩形 $A B C D$ 的边上，则称点P为矩形 $A B C D$ 关于直线l的“关联点”．

(1)、已知点 $P_{1} (- 1 ， 2)$ 、点 $P_{2} (- 2 ， 1)$ 、点 $P_{3} (- 4 ， 1)$ 、点 $P_{4} (- 3 ， - 1)$ 中是矩形 $A B C D$ 关于y轴的关联点的是；

(2)、 $⊙ O$ 的圆心 $O (- \frac{7}{2} ， 1)$ 半径为 $\frac{3}{2}$ ，若 $⊙ O$ 上至少存在一个点是矩形 $A B C D$ 关于直线 $x = t$ 的关联点，求t的取值范围；

(3)、 $⊙ O$ 的圆心 $O (m ， 1)$ $(m < 0)$ 半径为r，若存在t值使 $⊙ O$ 上恰好存在四个点是矩形 $A B C D$ 关于直线 $x = t$ 的关联点，写出r的取值范围，并写出当r取最小值时t的取值范围(用含m的式子表示)．

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x（米）	0	1	2	3	4	…
y（米）	1.75	3.0	3.75	4.0	3.75	…