北京市密云区2022一2023学年九年级上学期期末考试数学试卷

试卷更新日期：2023-02-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 将抛物线 $y = x^{2}$ 向右平移一个单位，得到的新抛物线的表达式是（）

A、 $y = (x + 1)^{2}$ B、 $y = (x - 1)^{2}$ C、 $y = x^{2} + 1$ D、 $y = x^{2} - 1$

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2. 已知 $∠ A$ 为锐角， $c o s A = \frac{1}{2}$ ，则 $∠ A$ 的大小是（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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3. 已知 $⊙ O$ 的半径为2，点O到直线l的距离是4，则直线l与 $⊙ O$ 的位置关系是（）

A、相离 B、相切 C、相交 D、以上情况都有可能

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4. 如图， $△ A B C$ 中，D、E分别在 $A B 、 A C$ 上， $D E ∥ B C ， A D = 2 ， A B = 5$ ，则 $\frac{S_{△ A D E}}{S_{△ A B C}}$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{25}$

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5. $P (x_{1} ， y_{1}) ， Q (x_{2} ， y_{2})$ 是函数 $y = \frac{6}{x}$ 图象上两点，且 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1} ， y_{2}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2}$ B、 $y_{1} = y_{2}$ C、 $y_{1} > y_{2}$ D、 $y_{1} ， y_{2}$ 大小不确定

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6. 已知二次函数 $y = - (x - 1)^{2} + 3$ ，则下列说法正确的是（）

A、二次函数图象开口向上 B、当 $x = 1$ 时，函数有最大值是3 C、当 $x = 1$ 时，函数有最小值是3 D、当 $x > 1$ 时，y随x增大而增大

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7. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，C、D是 $⊙ O$ 上两点， $∠ C D B = 40 °$ ，则 $∠ A B C$ 的度数是（）

A、 $20 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $90 °$

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8. 如图，多边形 $A_{1} A_{2} A_{3} \cdot \cdot \cdot A_{n}$ 是 $⊙ O$ 的内接正n边形，已知 $⊙ O$ 的半径为r， $∠ A_{1} O A_{2}$ 的度数为 $α$ ，点O到 $A_{1} A_{2}$ 的距离为d， $△ A_{1} O A_{2}$ 的面积为S．下面三个推断中．
①当n变化时， $α$ 随n的变化而变化， $α$ 与n满足的函数关系是反比例函数关系；②若 $α$ 为定值，当r变化时，d随r的变化而变化，d与r满足的函数关系是正比例函数关系；③若n为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系．其中正确的是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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二、填空题

9. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，二次函数图象开口向上，且对称轴是直线x=2，任写出一个满足条件的二次函数的表达式：．

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10. 已知扇形的圆心角是 $60 °$ ，半径是 $2 c m$ ，则扇形的弧长为cm．

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11. 已知反比例函数 $y = \frac{k - 1}{x}$ 的图象位于第二、四象限，则 $k$ 的取值范围为．

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12. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = 5 ， B C = 12$ ，则 $s i n A$ 的值为．

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13. 已知抛物线 $y = a (x - h)^{2} + k$ 上部分点的横坐标x和纵坐标y的几组数据如下：
x
-1
1
3
y
2
-2
2
点 $P (- 2 ， m) ， Q (x_{1} ， m)$ 是抛物线上不同的两点，则 $x_{1} =$ ．

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14. 如图，A，B、C三点都在 $⊙ O$ 上， $∠ A C B = 35 °$ ，过点A作 $⊙ O$ 的切线与 $O B$ 的延长线交于点P，则 $∠ A P O$ 的度数是．

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15. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 ， B C = 4$ ， E是 $B C$ 上一点， $B E = 1 ， A E$ 与 $B D$ 交于点F．则 $D F$ 的长为．

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16. 如图， $⊙ O$ 的弦 $A B$ 长为2， $C D$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ A D B = 30 ° ， ∠ A D C = 15 °$ ．
① $⊙ O$ 的半径长为．
②P是 $C D$ 上的动点，则 $P A + P B$ 的最小值是．

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三、解答题

17. 计算： $2 c o s 30 ° - t a n 60 ° + s i n 45 ° c o s 45 °$ ．

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18. $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， D是 $B C$ 边上一点，延长 $A D$ 至E，连接 $B E$ ， $∠ C B E = ∠ A B C$ ．

(1)、求证： $△ A D C ∽ △ E D B$ ；

(2)、若 $A C = 4 ， B E = 6 ， A D = 2$ ，求 $D E$ 长．

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19. $△ A B C$ 中， $∠ B = 45 ° ， t a n C = \frac{1}{2} ， A D ⊥ B C$ ，垂足为D， $A B = \sqrt{2}$ ，求 $A C$ 长．

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20. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ ．

(1)、求二次函数图象的顶点坐标及函数图象与x轴的交点坐标；

(2)、画出二次函数的示意图，结合图象直接写出当函数值 $y < 0$ 时，自变量x的取值范围．

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21. 2022年11月29日，搭载神舟十五号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．运载火箭从发射点O处发射，当火箭到达A处时、在地面雷达站C处测得点A的仰角为 $30 °$ ，在地面雷达站B处测得点A的仰角为 $45 °$ ．已知 $A C = 20 k m$ ， O、B、C三点在同一条直线上，求B、C两个雷达站之间的距离（结果精确到 $0.01 k m$ ，参考数据 $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）．

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22. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A E$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A E ⊥ B C$ ，垂足为D．

(1)、求证： $∠ A B O = ∠ C A E$ ；

(2)、已知 $⊙ O$ 的半径为5， $D E = 2$ ，求 $B C$ 长．

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23. 已知函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象上有两点 $A (1 ， 6) ， B (3 ， n)$ ．

(1)、求m，n的值．

(2)、已知直线 $y = k x + b$ 与直线 $y = x$ 平行，且直线 $y = k x + b$ 与线段 $A B$ 总有公共点，直接写出k值及b的取值范围．

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24. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的弦， $C D$ 与 $A B$ 交于点E， $C E = E D$ ，延长 $A B$ 至F，连接 $D F$ ，使得 $∠ C D F = 2 ∠ C A E$ ．

(1)、求证： $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、已知 $B E = 1$ ， $B F = 2$ ，求 $⊙ O$ 的半径长．

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25. 实心球是北京市初中体育学业水平现场考试选考项目之一．某同学作了2次实心球训练．第一次训练中实心球行进路线是一条抛物线，行进高度 $y (m)$ 与水平距离 $x (m)$ 之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为 $1.6 m$ ，当水平距离为 $3 m$ 时，实心球行进至最高点 $3.4 m$ 处．

(1)、求y关于x的函数表达式；

(2)、该同学第二次训练实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系： $y = - 0.125 (x - 4)^{2} + 3.6$ ，记第一次实心球从起点到落地点的水平距离为 $d_{1}$ ，第二次实心球从起点到落地点的水平距离为 $d_{2}$ ，则 $d_{1}$ $d_{2}$ ．（填“>”“=”或“<”）．

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26. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x (a > 0)$ ．

(1)、若抛物线经过点 $A (2 ， 0)$ ，求抛物线的对称轴；

(2)、已知抛物线上有四个点 $B (- 1 ， y_{1}) ， C (1 ， y_{2}) ， D (3 ， y_{3}) ， E (m ， 0)$ ，且 $2 < m < 4$ ．比较 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 的大小，并说明理由．

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27. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形．点D是 $B C$ 边上一点（点D不与B，C重合）， $∠ A D E = 60 °$ ， $A D = D E$ ，连接 $C E$ ．

(1)、判断 $C E$ 与 $A B$ 的位置关系，并证明；

(2)、过D过 $D G ⊥ A B$ ，垂足为G．用等式表示 $D G$ ， $A G$ 与 $D C$ 之间的数量关系，并证明．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将线段 $O M$ 平移得到线段 $P P_{1}$ （其中P， $P_{1}$ 分别是O，M的对应点），延长 $P O$ 至 $P_{2}$ ，使得 $O P_{2} = 2 O P$ ，连接 $P_{1} P_{2}$ ，交 $O M$ 于点Q，称Q为点P关于线段 $O M$ 的关联点．

(1)、如图，点 $M (1 ， 2) ， P (2 ， 0)$ ．
①在图中画出点Q；
②求证： $O Q = 2 Q M$ ；

(2)、已知 $⊙ O$ 的半径为1，M是 $⊙ O$ 上一动点， $O P = 3$ ，点P关于线段 $O M$ 的关联点为Q，求 $P_{2} Q$ 的取值范围．

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