北京市门头沟区2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2023-02-09 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 如果 $\frac{x}{y} = \frac{1}{3}$ ，那么 $\frac{x + y}{y}$ 的值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

查看试题解析
2. 已知⊙O的半径为4，点P在⊙O内，则OP的长可能是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

查看试题解析
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，则sinA的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

查看试题解析
4. 如果将抛物线 $y = x^{2}$ 向上平移3个单位长度，得到新的抛物线的表达式是（）

A、 $y = {(x + 3)}^{2}$ B、 $y = {(x - 3)}^{2}$ C、 $y = x^{2} + 3$ D、 $y = x^{2} - 3$

查看试题解析
5. 如图， $A D$ ， $B C$ 相交于点O，且 $A B ∥ C D$ ．如果 $A O = C O = 2$ ， $B O = 1$ ，那么 $O D$ 的值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

查看试题解析
6. 如图，线段 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，如果 $∠ C A B = 30 °$ ，那么 $∠ A D C$ 的度数是（）

A、 $45 °$ B、 $50 °$ C、 $55 °$ D、 $60 °$

查看试题解析
7. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，那么下列结论正确的是（）

A、 $a c < 0$ B、 $b = 2 a$ C、 $b^{2} - 4 a c < 0$ D、一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的近似解为 $x_{1} \approx - 0.5$ ， $x_{2} \approx 3.2$

查看试题解析
8. 下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图像表示的是（）

A、圆的面积y与它的半径x； B、正方形的周长y与它的边长x； C、用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x； D、小明从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间y与平均速度x；

查看试题解析

二、填空题

9. 如果 $t a n α = 1$ ，那么锐角 $α =$ 度．

查看试题解析
10. 如果一个扇形的圆心角为 $90 °$ ，半径为2，那么该扇形的面积为（结果保留π）．

查看试题解析
11. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，反比例函数 $y = \frac{3}{x}$ 的图象经过点 $A (1 ， y_{1})$ ， $B (3 ， y_{2})$ ，那么 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系是 $y_{1}$ $y_{2}$ （填“ $>$ ”，“ $=$ ”或“ $<$ ”）时．

查看试题解析
12. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D，E是网格线的交点，那么 $△ A D E$ 的面积与 $△ A B C$ 的面积的比是．

查看试题解析
13. 写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②当 $x < 0$ 时，y随x的增大而增大．这个二次函数的表达式可以是．

查看试题解析
14. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一百五十寸，立一标杆，长一十五寸，影长五寸，问竿长几何？”．其意思是：“如图，有一根竹竿 $A B$ 不知道有多长，量出它在太阳下的影子 $B C$ 长150寸，同时立一根15寸的小标杆 $D E$ ，它的影子 $E F$ 长5寸，则竹竿 $A B$ 的长为多少？”．答：竹竿 $A B$ 的长为寸．

查看试题解析
15. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度 $A B = 16$ 米，拱高 $C D = 4$ 米，那么桥拱所在圆的半径 $O A =$ 米．

查看试题解析
16. 如图1，在等边 $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 中点，点P为 $A B$ 边上一动点，设 $A P = x$ ， $D P = y$ ，如果y与x的函数关系的图象如图2所示，那么 $A B =$ ．

查看试题解析
17. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D在 $A B$ 上，连接 $C D$ ．请添加一个条件，使得 $△ A C D ∽ △ A B C$ ，然后再加以证明．

查看试题解析

三、解答题

18. 计算： ${(π + 2)}^{0} + 4 c o s 30 ° - \sqrt{12} + | - 2 |$ ．

查看试题解析
19. 下面是小李设计的“作圆的内接等边三角形”的尺规作图过程．
已知：如图1， $⊙ O$ ．
求作：等边 $△ A B C$ ，使得等边 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ．
作法：
①如图2，作半径 $O M$ ；
②以M为圆心， $O M$ 长为半径作弧，交 $⊙ O$ 于点A，B，连接 $A B$ ；
③以B为圆心， $A B$ 长为半径作弧，交 $⊙ O$ 于点C；
④连接 $A C$ ， $B C$ ．
∴ $△ A B C$ 就是所求作的等边三角形．
根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接 $O A$ ， $O B$ ， $M A$ ， $M B$ ．
由作图可知 $M A = M B = O M = O A = O B$ ，
∴ $△ O A M$ ， $△ O B M$ 是等边三角形．
∴ $∠ A O M = ∠ B O M =$ ▲ $°$ ．
∴ $∠ A O B = 120 °$ ．
∵ $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{A B}$ ，
∴ $∠ A C B = \frac{1}{2} ∠ A O B = 60 °$ ．（）（填推理的依据）
∵ $B C = B A$ ，
∴ $△ A B C$ 是等边三角形．

查看试题解析
20. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$

(1)、求此二次函数图象的顶点坐标；

(2)、求此二次函数图象与x轴的交点坐标；

(3)、当 $y < 0$ 时，直接写出x的取值范围．

查看试题解析
21. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D在 $A B$ 上， $C A = C D$ ，过点B作 $B E ⊥ C D$ ，交 $C D$ 的延长线于点E．

(1)、求证： $△ A B C ∽ △ D B E$ ；

(2)、如果 $B C = 5$ ， $B E = 3$ ，求 $A C$ 的长．

查看试题解析
22. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数 $y = k (x + 2) - 1 (k > 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象的一个交点为 $A (- 2 ， n)$ ．

(1)、求反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的解析式；

(2)、当 $x > 1$ 时，对于x的每一个值，一次函数 $y = k (x + 2) - 1 (k > 0)$ 的值大于反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的值，直接写出k的取值范围．

查看试题解析
23. 定都阁位于门头沟潭柘寺镇的定都峰上，与通州大运河遥相呼应，形成“东有大运河，西有定都阁”的一道新景观．为测得定都阁的高度，某校数学社团登上定都峰开展实践活动．他们利用无人机在点P处测得定都阁顶端A的俯角α为 $45 °$ ，定都阁底端B的俯角β为 $60 °$ ，此时无人机到地面的垂直距离 $P C$ 为 $46 \sqrt{3}$ 米，求定都阁的高 $A B$ ．（结果保留根号）

查看试题解析
24. 某公园有一个小型喷泉，水柱从垂直于地面的喷水枪喷出，水柱落于地面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水柱距喷水枪的水平距离为（单x位：m），距地面的垂直高度为y（单位：m），现测得x与y的几组对应数据如下：
水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
…
垂直高度y/m
0.7
1.6
2.3
2.8
3.1
3.2
3.1
…
请根据测得的数据，解决以下问题：

(1)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；

(2)、结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为m；

(3)、求所画图象对应的二次函数表达式；

(4)、公园准备在水柱下方的地面上竖直安装一根高 $1.6 m$ 的石柱，使该喷水枪喷出的水柱恰好经过石柱顶端，则石柱距喷水枪的水平距离为m．（注：不考虑石柱粗细等其他因素）

查看试题解析
25. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ ，交 $B C$ 于点D，过点D作 $D E ⊥ A C$ ，垂足为E．

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、如果 $t a n B = \frac{1}{2}$ ， $D E = 1$ ，求 $A B$ 的长．

查看试题解析
26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $M (x_{1} ， y_{1})$ ， $N (x_{2} ， y_{2})$ 在抛物线 $y = a x^{2} + b x + 1 (a < 0)$ 上，其中 $x_{1} < x_{2}$ ，设抛物线的对称轴为 $x = t$ ．

(1)、当 $t = 1$ 时，如果 $y_{1} = y_{2} = 1$ ，直接写出 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 的值；

(2)、当 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 3$ 时，总有 $y_{2} < y_{1} < 1$ ，求t的取值范围．

查看试题解析
27. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D在 $B C$ 上，连接 $A D$ ，在直线 $A C$ 右侧作 $A E ⊥ A D$ ，且 $A E = A D$ ，连接 $B E$ 交 $A C$ 于点F．

(1)、如图1，当 $A C = B C$ 时，
①依题意补全图1，猜想 $∠ A D C$ 与 $∠ C A E$ 之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段 $B F$ ， $E F$ 的数量关系，并证明．

(2)、如图2，当 $A C = m B C (m > 0)$ 时，直接用含m的等式表示线段 $B F$ ， $E F$ 的数量关系．

查看试题解析
28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于点 $M (x_{1} ， y_{1})$ ，给出如下定义：当点 $N (x_{2} ， y_{2})$ ，满足 $x_{1} \cdot x_{2} = y_{1} \cdot y_{2}$ 时，称点N是点M的等积点．已知点 $M (1 ， 2)$ ．

(1)、在 $N_{1} (6 ， 3)$ ， $N_{2} (3 ， - 1)$ ， $N_{3} (- 4 ， - 2)$ 中，点M的等积点是；

(2)、如果点M的等积点N在双曲线 $y = \frac{2}{x}$ 上，求点N的坐标；

(3)、已知点 $P (6 ， 2)$ ， $Q (2 ， a)$ ， $⊙ Q$ 的半径为1，连接 $M P$ ，点A在线段 $M P$ 上．如果在 $⊙ Q$ 上存在点A的等积点，直接写出a的取值范围．

查看试题解析

水平距离x/m	0	1	2	3	4	5	6	…
垂直高度y/m	0.7	1.6	2.3	2.8	3.1	3.2	3.1	…