北京市海淀区2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是中心对称图形的为（）

A、 B、 C、 D、

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2. 点 $A (1 ， 2)$ 关于原点对称的点的坐标是（）

A、 $(1 ， - 2)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(- 1 ， - 2)$ D、 $(2 ， 1)$

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3. 二次函数 $y = x^{2} + 2$ 的图象向左平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为（）

A、 $y = x^{2} + 3$ B、 $y = {(x - 1)}^{2} + 2$ C、 $y = x^{2} + 1$ D、 $y = {(x + 1)}^{2} + 2$

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4. 如图，已知正方形 $A B C D$ ，以点 $A$ 为圆心， $A B$ 长为半径作 $⊙ A$ ，点 $C$ 与 $⊙ A$ 的位置关系为（）

A、点 $C$ 在 $⊙ A$ 外 B、点 $C$ 在 $⊙ A$ 内 C、点 $C$ 在 $⊙ A$ 上 D、无法确定

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5. 若点 $M (0 ， 5)$ ， $N (2 ， 5)$ 在抛物线 $y = 2 {(x - m)}^{2} + 3$ 上，则 $m$ 的值为（）

A、2 B、1 C、0 D、-1

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6. 勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由三段圆弧组成的曲边三角形．如图，该勒洛三角形绕其中心 $O$ 旋转一定角度 $α$ 后能与自身重合，则该角度 $α$ 可以为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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7. 如图，过点 $A$ 作 $⊙ O$ 的切线 $A B$ ， $A C$ ，切点分别是 $B$ ， $C$ ，连接 $B C$ ．过 $\overset{⌢}{B C}$ 上一点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $A B$ ， $A C$ 于点 $E$ ， $F$ ．若 $∠ A = 90 °$ ， $△ A E F$ 的周长为4，则 $B C$ 的长为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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8. 遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从人口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从 $F$ 口驶出的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{6}$

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二、填空题

9. 二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 的图象与 $y$ 轴的交点坐标为．

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10. 半径为3且圆心角为 $12 0^{°}$ 的扇形的面积为.

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11. 下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．
投篮次数 $n$
50
100
150
200
300
400
500
投中次数 $m$
28
49
78
102
153
208
255
投中频率 $\frac{m}{n}$
0.56
0.49
0.52
0.51
0.51
0.52
0.51
根据以上数据，估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为．

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12. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是．

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13. 二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 的图象如图所示，则ab0（填“ $>$ ”，“ $<$ ”或“ $=$ ”）．

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14. 如图， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $O D ⊥ A B$ 于点 $E$ ，若 $⊙ O$ 的半径为 $\sqrt{2}$ ， $∠ A C B = 45 °$ ，则 $O E =$ ．

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15. 对于二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ ， $y$ 与 $x$ 的部分对应值如表所示． $x$ 在某一范围内， $y$ 随 $x$ 的增大而减小，写出一个符合条件的 $x$ 的取值范围．
$x$
…
-1
0
1
2
3
…
$y$
…
-3
1
3
3
1
…

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16. 如图， $A B$ ， $A C$ ， $A D$ 分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若 $A B = 2$ ，下面四个结论中，
①该圆的半径为2； ② $\overset{⌢}{A C}$ 的长为 $\frac{π}{2}$ ；
③ $A C$ 平分 $∠ B A D$ ； ④连接 $B C$ ， $C D$ ，则 $△ A B C$ 与 $△ A C D$ 的面积比为 $1 ： \sqrt{3}$ ．
所有正确结论的序号是．

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三、解答题

17. 解方程： $x^{2} - 2 x = 6$ ．

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18. 已知抛物线 $y = 2 x^{2} + b x + c$ 过点 $(1 ， 3)$ 和 $(0 ， 4)$ ，求该抛物线的解析式．

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19. 已知 $a$ 为方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的一个根，求代数式 $(a + 1) (a - 1) + 3 a (a - 2)$ 的值．

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20. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 为直径， $\overset{⌢}{B C} = \overset{⌢}{C D}$ ．若 $∠ A = 50 °$ ，求 $∠ B$ 的度数．

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21. 为了发展学生的兴趣爱好，学校利用课后服务时间开展了丰富的社团活动．小明和小天参加的篮球社共有甲、乙、丙三个训练场．活动时，每个学生用抽签的方式从三个训练场中随机抽取一个场地进行训练．

(1)、小明抽到甲训练场的概率为；

(2)、用列表或画树状图的方法，求小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率．

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22. 已知：如图， $P A$ 是 $⊙ O$ 的切线， $A$ 为切点．
求作： $⊙ O$ 的另一条切线 $P B$ ， $B$ 为切点．
作法：以 $P$ 为圆心， $P A$ 长为半径画弧，交 $⊙ O$ 于点 $B$ ；
作直线 $P B$ ．
直线 $P B$ 即为所求．

(1)、根据上面的作法，补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面证明过程．
证明：连接 $O A$ ， $O B$ ， $O P$ ．
∵ $P A$ 是 $⊙ O$ 的切线， $A$ 为切点，
∴ $O A ⊥ P A$ ．
∴ $∠ P A O = 90 °$ ．
在 $△ P A O$ 与 $△ P B O$ 中， ${\begin{array}{l} P A = P B ， \\ O P = O P ， \\ ▲ ， \end{array}$
∴ $△ P A O ≌ △ P B O$ ． ∴ $∠ P A O = ∠ P B O = 90 °$ ．
∴ $O B ⊥ P B$ 于点 $B$ ． ∵ $O B$ 是 $⊙ O$ 的半径，
∴ $P B$ 是 $⊙ O$ 的切线（）（填推理的依据）．

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23. 紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图1。当制显艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图2是符合题意使用该工具时的示意图．如图3， $⊙ O$ 为某紫砂壶的壶口，已知 $A$ ， $B$ 两点在 $⊙ O$ 上，直线 $l$ 过点 $O$ ，且 $l ⊥ A B$ 于点 $D$ ，交 $⊙ O$ 于点 $C$ ．若 $A B = 30 m m$ ， $C D = 5 m m$ ，求这个紫砂壶的壶口半径 $r$ 的长．

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24. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上．过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线 $l$ ，过点 $B$ 作 $B D ⊥ l$ 于点 $D$ ．

(1)、求证： $B C$ 平分 $∠ A B D$ ；

(2)、连接 $O D$ ，若 $∠ A B D = 60 °$ ， $C D = 3$ ，求 $O D$ 的长．

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25. 学校举办“科技之星”颁奖典礼，颁奖现场人口为一个拱门．小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”四个大字（如图1），其中，“科”与“星”距地面的高度相同，“技”与“之”距地面的高度相同，他发现拱门可以看作是抛物线的一部分，四个字和五角星可以看作抛物线上的点．通过测量得到拱门的最大跨度是10米，最高点的五角星距地面6.25米．

(1)、请在图2中建立平面直角坐标系 $x O y$ ，并求出该抛物线的解析式；

(2)、“技”与“之”的水平距离为 $2 a$ 米．小明想同时达到如下两个设计效果：
① “科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍；
②“技”与“科”距地面的高度差为1.5米．
小明的设计能否实现？若能实现，直接写出 $a$ 的值；若不能实现，请说明理由．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 1$ 过点 $(2 ， 1)$ ．

(1)、求 $b$ （用含 $a$ 的式子表示）；

(2)、抛物线过点 $M (- 2 ， m)$ ， $N (1 ， n)$ ， $P (3 ， p)$ ．
①判断： $(m - 1) (n - 1)$ ▲ 0（填“＞”“＜”或“＝”）；
②若 $M$ ， $N$ ， $P$ 恰有两个点在 $x$ 轴上方，求 $a$ 的取值范围．

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27. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ． $D$ 是 $A B$ 边上一点， $D E ⊥ A C$ 交 $C A$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、用等式表示 $A D$ 与 $A E$ 的数量关系，并证明；

(2)、连接 $B E$ ，延长 $B E$ 至 $F$ ，使 $E F = B E$ ．连接 $D C$ ， $C F$ ， $D F$ ．
①依题意补全图形；
②判断 $△ D C F$ 的形状，并证明．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于点 $P$ 和线段 $A B$ ，若线段 $P A$ 或 $P B$ 的垂直平分线与线段 $A B$ 有公共点，则称点 $P$ 为线段 $A B$ 的融合点．

(1)、已知 $A (3 ， 0)$ ， $B (5 ， 0)$ ，
①在点 $P_{1} (6 ， 0)$ ， $P_{2} (1 ， - 2)$ ， $P_{3} (3 ， 2)$ 中，线段 $A B$ 的融合点是 ▲ ；
②若直线 $y = t$ 上存在线段 $A B$ 的融合点，求 $t$ 的取值范围；

(2)、已知 $⊙ O$ 的半径为4， $A (a ， 0)$ ， $B (a + 1 ， 0)$ ，直线 $l$ 过点 $T (0 ， - 1)$ ，记线段 $A B$ 关于 $l$ 的对称线段为 $A^{'} B^{'}$ ．若对于实数 $a$ ，存在直线 $l$ ，使得 $⊙ O$ 上有 $A^{'} B^{'}$ 的融合点，直接写出 $a$ 的取值范围．

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投篮次数 $n$	50	100	150	200	300	400	500
投中次数 $m$	28	49	78	102	153	208	255
投中频率 $\frac{m}{n}$	0.56	0.49	0.52	0.51	0.51	0.52	0.51

$x$	…	-1	0	1	2	3	…
$y$	…	-3	1	3	3	1	…