北京市东城区2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2023-02-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有一个根为0，则 $m$ 的值为（）

A、2 B、1 C、0 D、-1

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2. 下列图形中是中心对称图形的是（）

A、正方形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、正五边形

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3. 关于二次函数 $y = 2 {(x - 4)}^{2} + 6$ 的最大值或最小值，下列说法正确的是（）

A、有最大值4 B、有最小值4 C、有最大值6 D、有最小值6

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4. 一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是确定事件的为（）

A、至少有1个球是黑球 B、至少有1个球是白球 C、至少有2个球是黑球 D、至少有2个球是白球

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5. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示.设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）

A、180（1﹣x）²=461 B、180（1+x）²=461 C、368（1﹣x）²=442 D、368（1+x）²=442

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6. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 是直径，弦 $A C$ 的长为5，点D在圆上，且 $∠ A D C = 30 °$ ，则 $⊙ O$ 的半径为（）

A、2.5 B、5 C、7.5 D、10

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7. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若 $∠ P = 120 °$ ， ⊙O的半径为6cm，则图中 $\overset{⌢}{C D}$ 的长为（）

A、π cm B、2π cm C、3π cm D、4π cm

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8. 如图，正方形 $A B C D$ 和 $⊙ O$ 的周长之和为 $20 c m$ ，设圆的半径为 $x c m$ ，正方形的边长为 $y c m$ ，阴影部分的面积为 $S c m^{2}$ ．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）

A、一次函数关系，一次函数关系 B、一次函数关系，二次函数关系 C、二次函数关系，二次函数关系 D、二次函数关系，一次函数关系

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二、填空题

9. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 5$ 与y轴交于点C，则点C的坐标为．

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10. 把抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 1$ 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．

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11. 请写出一个常数c的值，使得关于x的方程 $x^{2} + 2 x + c = 0$ 有两个不相等的实数根，则c的值可以是．

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12. 2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：

幼树移植数（棵）	100	1000	5000	8000	10000	15000	20000
幼树移植成活数（棵）	87	893	4485	7224	8983	13443	18044
幼树移植成活的频率	0.870	0.893	0.897	0.903	0.898	0.896	0.902

估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是．（结果精确到0.1）

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13. 以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系.若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为.

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14. 如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B=50°，则∠OCD的度数等于．

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15. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积 $= \frac{1}{2}$ （弦×失+失²）．弧田（图中阴影部分）由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为 $120 °$ ，半径等于4米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积约为米 $^{2}$ ．（ $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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16. 我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形 $A B C D ， A B = 4 ， A D = 2$ ，中心为O，在矩形外有一点P， $O P = 3$ ，当矩形绕着点O旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为．

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三、解答题

17. 下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在 $⊙ O$ 上．
求作： $⊙ O$ 的切线 $A B$ ．
作法： ①作射线 $O A$ ；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线 $O A$ 于点C和点D；
③分别以点C，D为圆心，大于 $\frac{1}{2} C D$ 长为半径作弧，两弧交点B；
④作直线 $A B$ ．
则直线 $A B$ 即为所求作的 $⊙ O$ 的切线.
根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：

(1)、使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

(2)、完成下面的证明.
证明：连接 $B C$ ， $B D$ ．
由作图可知，
$A C = A D$ ， $B C =$ ▲ ．
∴ $B A$ ▲ $O A$ ．
∵ 点A在 $⊙ O$ 上，
∴直线 $A B$ 是 $⊙ O$ 的切线（） (填写推理依据) ．

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18. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点E， $C D = 2 O E$ ，若 $A B = 4$ ，求 $C D$ 的长.

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19. 下面是小聪同学用配方法解方程： $2 x^{2} - 4 x - p = 0$ $(p > 0)$ 的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
$2 x^{2} - 4 x - p = 0$
解：移项，得： $2 x^{2} - 4 x = p$ ． ①
二次项系数化为1，得： $x^{2} - 2 x = \frac{p}{2}$ ． ②
配方，得 $x^{2} - 2 x + 1 = \frac{p}{2}$ ． ③
即 $(x - 1)^{2} = \frac{p}{2}$ .
∵ $p > 0$ ，
∴ $x - 1 = \pm \sqrt{\frac{p}{2}}$ ． ④
∴ $x_{1} = 1 + \frac{\sqrt{2 p}}{2}$ ， $x_{1} = 1 - \frac{\sqrt{2 p}}{2}$ ． ⑤

(1)、第②步二次项系数化为1的依据是什么？

(2)、整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．

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20. 如图，已知抛物线L：y＝x²+bx+c经过点A(0，﹣5)，B(5，0)．

(1)、求b，c的值；

(2)、连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．求点M的坐标；

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21. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点 $A$ ， $B$ ， $O$ 均为格点(每个小正方形的顶点叫做格点)．

(1)、作点 $A$ 关于点 $O$ 的对称点 $A_{1}$ ；

(2)、连接 $A_{1} B$ ，将线段 $A_{1} B$ 绕点 $A_{1}$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $A_{1} B_{1}$ ，点 $B$ 的对应点为 $B_{1}$ ，画出旋转后的线段 $A_{1} B_{1}$ ；

(3)、连接 $A B_{1}$ ， $B B_{1}$ ，求出 $△ A B B_{1}$ 的面积（直接写出结果即可）．

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22. 2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富讲了又一堂精彩的太空科普课．这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽．小明和小亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”、“巡天飞船”等模块．他们决定先从“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”三个模块中随机选择一个进行学习，分别设这三个模块为A，B，C，用画树状图或列表的方法求出小明和小亮选择相同模块的概率．

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23. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + (2 m + 1) x + m - 2 = 0$ ．

(1)、求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

(2)、当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解．

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24. 掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度 $y$ (单位：m)与水平距离 $x$ (单位：m)近似满足函数关系 $y = a (x - h)^{2} + k$ $(a < 0)$ ．某位同学进行了两次投掷．

(1)、第一次投掷时，实心球的水平距离 $x$ 与竖直高度 $y$ 的几组数据如下：
水平距离x/m
0
2
4
6
8
10
竖直距离y/m
1.67
2.63
2.95
2.63
1.67
0.07
根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 $y = a (x - h)^{2} + k$ $(a < 0)$ ；

(2)、第二次投掷时，实心球的竖直高度y与水平距离 $x$ 近似满足函数关系 $y = - 0.09 (x - 3.8)^{2} + 2.97$ ．记实心球第一次着地点到原点的距离为 $d_{1}$ ，第二次着地点到原点的距离为 $d_{2}$ ，则 $d_{1}$ $d_{2}$ (填“＞”“＝”或“＜”)．

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25. 如图，点 $C$ 在以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上， $C D$ 平分 $∠ A C B$ 交 $⊙ O$ 于点D，交 $A B$ 于点E，过点D作 $D F ∥ A B$ 交 $C O$ 的延长线于点F．

(1)、求证：直线 $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $∠ A = 30$ °， $A C = 2 \sqrt{3}$ ，求DF的长．

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26. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 4 a x + 3 (a \neq 0)$ ．

(1)、求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴．

(2)、已知点 $(3 ， y_{1}) ， (1 ， y_{2}) ， (- 1 ， y_{3}) ， (- 2 ， y_{4})$ 都在该二次函数图象上，
①请判断 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系： $y_{1}$ ▲ $y_{2}$ （用“ $>$ ”“ $=$ ”“ $<$ ”填空）；
②若 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ ， $y_{4}$ 四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围．

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27. 如图， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $∠ A C B = 90 ° ， A C = B C$ ， $D$ 为 $A C$ 延长线上一点，连接 $B D$ ，将线段 $B D$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到线段 $D E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ A C$ 于点 $F$ ，连接 $A E$ ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、比较 $A F$ 与 $C D$ 的大小，并证明；

(3)、连接 $B E$ ， $G$ 为 $B E$ 的中点，连接 $C G$ ，用等式表示线段 $C D ， C G ， B C$ 之间的数量关系，并证明．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，我们给出如下定义：将图形M绕直线 $x = 3$ 上某一点P顺时针旋转 $90 °$ ，再关于直线 $x = 3$ 对称，得到图形N，我们称图形N为图形M关于点P的二次关联图形．
已知点 $A (0 ， 1)$ ．

(1)、若点P的坐标是 $(3 ， 0)$ ，直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标；

(2)、若点A 关于点P的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可）；

(3)、已知 $⊙ O$ 的半径为1，点A关于点P的二次关联图形在 $⊙ O$ 上且不与点A重合．
若线段 $A B = 1$ ，其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在 $⊙ O$ 及其内部，求此时 P点坐标及点B的纵坐标 $y_{B}$ 的取值范围．

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水平距离x/m	0	2	4	6	8	10
竖直距离y/m	1.67	2.63	2.95	2.63	1.67	0.07